자연계열 2번

(2-1) $\displaystyle a_n$은 부분분수로 다음과 같이 표현될 수 있다. $\displaystyle a_n=\frac1n-\frac1{(n+1)^2}$ 이를 이용하면, $\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k=\sum_{k=1}^n\frac1{k^2}-\frac1{(k+1)^2}=1-\frac1{(n+1)^2}=\frac{n(n+2)}{(n+1)^2}$이 된다.

(2-2) 급수의 합이 분자와 분모 모두 2차식인 유리식이므로 무한급수의 합은 수렴하고, 무한급수의 합은 다음과 같이 구할 수 있다.$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n a_k=\lim_{n\to\infty}\frac{n(n+2)}{(n+1)^2}=1$

(2-3) 정적분을 계산하면, 다음과 같다.$\displaystyle \int_n^{n+1}\frac1{x^3}\,dx=\Biggl[-\frac1{2x^2}\Biggr]_n^{n+1}=\frac1{2n^2}-\frac1{2(n+1)^2}=\frac{2n+1}{2n^2(n+1)^2}=\frac{a_n}2$제시문의 성질에 따라서, 적분의 극한값은 다음과 같이 구할 수 있다.$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\int_1^n\frac1{x^3}\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n-1}\int_k^{k+1}\frac1{x^3}\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n-1}\frac{a_k}2=\lim_{n\to\infty}\frac{(n-1)(n+1)}{2n^2}=\frac12$