자연계열 4번

(4-1) (조건1)로부터 $\displaystyle \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{OC}$에 의해 $\displaystyle |\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{OC}|$. 양변을 제곱하면$\displaystyle |\overrightarrow{OA}|^2+2\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}+|\overrightarrow{OB}|^2=|\overrightarrow{OC}|^2$이다. $\displaystyle \angle AOB=\theta$라 하면 $\displaystyle |\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{OC}|=1$이므로 $\displaystyle 2\cos\theta+1=0$, 즉 $\displaystyle \theta=120^\circ$이다. $\displaystyle \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{OC}$에 의해 $\displaystyle 2\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}2=-\overrightarrow{OC}$로 변형되고, 이는 변 $\displaystyle AB$의 중점과 점 $\displaystyle C$는 중심 $\displaystyle O$에 대해 서로 반대편에 있음을 의미한다. 따라서 중심각과 원주각과의 관계에 의해 $\displaystyle \angle ACB=\frac12\angle AOB=60^\circ$이다.또한, $\displaystyle \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=-\overrightarrow{OB}$에 의해, 같은 방법으로 $\displaystyle \angle ABC=\frac12\angle AOC=60^\circ$이다. $\displaystyle \angle BAC=180^\circ-60^\circ-60^\circ=60^\circ$. 따라서 삼각형 $\displaystyle ABC$는 정삼각형이다.

(4-2) (조건2)에 의해 $\displaystyle \overline{BP}:\overline{PC}=1:2$이므로 $\displaystyle \overrightarrow{AP}=\frac23\overrightarrow{AB}+\frac13\overrightarrow{AC}$. 문제 (4-1)에 의해 삼각형 $\displaystyle ABC$는 정삼각형이므로 한 변의 길이를 1이라 해도 일반성을 잃지 않는다.$\displaystyle |\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{BC}|=1,\ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\cos60^\circ=\frac12$$\displaystyle |\overrightarrow{AP}|^2=\frac49|\overrightarrow{AB}|^2+2\frac29\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}+\frac19|\overrightarrow{AC}|^2=\frac59+\frac29=\frac79,$$\displaystyle |\overrightarrow{AP}|=\sqrt{\frac79}=\frac{\sqrt7}3.$삼각형 $\displaystyle ABP$와 삼각형 $\displaystyle CDP$는 닮은 삼각형이므로 $\displaystyle \overline{AP}\,\overline{PD}=\overline{BP}\,\overline{PC}$이다. 따라서$\displaystyle \overline{PD}=\frac{\overline{BP}\,\overline{PC}}{\overline{AP}}=\frac{\frac23\frac13}{\frac{\sqrt7}3}=\frac2{3\sqrt7},$$\displaystyle \overline{AP}:\overline{AD}=\overline{AP}:(\overline{AP}+\overline{PD})=\frac{\sqrt7}3:\left(\frac{\sqrt7}3+\frac2{3\sqrt7}\right)=1:\left(1+\frac27\right)=1:\frac97.$이다. 따라서$\displaystyle \overrightarrow{AD}=\frac97\overrightarrow{AP}=\frac97\left(\frac23\overrightarrow{AB}+\frac13\overrightarrow{AC}\right)=\frac67\overrightarrow{AB}+\frac37\overrightarrow{AC}$이다.