자연계열 1번

(1-1) $\displaystyle x^n=(x^2-x-1)q_n(x)+a_nx+b_n$이라 두자. 여기서 $\displaystyle q_n(x)$는 $\displaystyle x^n$을 $\displaystyle x^2-x-1$로 나눈 몫이고, $\displaystyle n=1$일 때, $\displaystyle q_1(x)=0$이다. 이 식에 $\displaystyle \alpha,\beta$를 대입하면, $\displaystyle \alpha^n=a_n\alpha+b_n,\beta^n=a_n\beta+b_n$을 얻는다. 여기서 $\displaystyle b_n$을 소거하여 $\displaystyle a_n$에 대하여 풀면 $\displaystyle a_n=\frac{\alpha^n-\beta^n}{\alpha-\beta}$이다.

(1-2) 먼저 $\displaystyle \alpha,\beta$는 $\displaystyle x^2-x-1=0$의 근이므로$\displaystyle \alpha+\beta=1,\ \alpha+\beta=1,\alpha\beta=-1,\alpha^2=\alpha+1,\beta^2=\beta+1\quad\cdots\ (1)$을 만족한다. 우선 초기조건을 확인하자. $\displaystyle a_1=\frac{\alpha-\beta}{\alpha-\beta}=1,\ a_2=\frac{\alpha^2-\beta^2}{\alpha-\beta}=\alpha+\beta=1\quad(\because(1))$한편 $\displaystyle \begin{aligned}a_n+a_{n+1}&=\frac{\alpha^n-\beta^n}{\alpha-\beta}+\frac{\alpha^{n+1}-\beta^{n+1}}{\alpha-\beta}\\&=\frac{\alpha^n(1+\alpha)-\beta^n(1+\beta)}{\alpha-\beta}=\frac{\alpha^n\alpha^2-\beta^n\beta^2}{\alpha-\beta}\quad(\because(1))\\&=\frac{\alpha^{n+2}-\beta^{n+2}}{\alpha-\beta}=a_{n+2}\end{aligned}$이다. 그러므로 수열 $\displaystyle \{a_n\}$은 피보나치 수열이다.

(1-3) $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\alpha^{n+1}-\beta^{n+1}}{\alpha^n-\beta^n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\alpha\left(\frac\alpha\beta\right)^n-\beta}{\left(\frac\alpha\beta\right)^n-1}$이다. 여기서 $\displaystyle \left|\frac\alpha\beta\right|=\left|\frac{1-\sqrt5}{1+\sqrt5}\right|<1$이므로 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\frac\alpha\beta\right)^n=0$이다. 따라서 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\beta=\frac{1+\sqrt5}{2}$이다.