자연계열 3번

(3-1) 삼차함수 $\displaystyle f(x)=x^3-12x$를 미분하면 $\displaystyle f^{\prime}(x)=3(x+2)(x-2)$이고 따라서 $\displaystyle x=-2$일 때 극댓값 $\displaystyle 16$, $\displaystyle x=2$일 때 극솟값 $\displaystyle -16$을 가진다. 그러므로 $\displaystyle -16<t<16$인 $\displaystyle t$에 대하여 방정식$\displaystyle f(x)=x^3-12x=t$는 구간 $\displaystyle x<-2,\ -2<x<2,\ x>2$에서 각각 한 개의 실근을 가진다.

(3-2) (3-1)의 풀이에서와 같이 $\displaystyle f(x)=x^3-12x$라고 두자. 변수 $\displaystyle t$에 대한 함수 $\displaystyle f_1(t),f_2(t),f_3(t)$는 각각 구간 $\displaystyle \alpha<x<-2,\ -2<x<2,\ 2<x<\beta$에서의 함수 $\displaystyle f(x)$의 부분역함수라고 볼 수 있다. 여기서 $\displaystyle \alpha$와 $\displaystyle \beta$는 $\displaystyle \alpha<-2,\ \beta>2,\ f(\alpha)=-16,\ f(\beta)=16$을 만족하는 실수이다. 편의상 $\displaystyle x_1=f_1(t),\ x_2=f_2(t),\ x_3=f_3(t)$라 두면 $\displaystyle x_1,x_2,x_3$은 삼차방정식 $\displaystyle x^3-12x-t=0$의 세 근이 된다. 근과 계수와의 관계에서$\displaystyle x_1+x_2+x_3=0,\ x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=-12,\ x_1x_2x_3=t$이다. 역함수미분법을 이용하여 문제의 식을 정리하면$\displaystyle \begin{aligned}\frac1{f_1^{\prime}(t)}+\frac1{f_2^{\prime}(t)}+\frac1{f_3^{\prime}(t)}&=f^{\prime}(x_1)+f^{\prime}(x_2)+f^{\prime}(x_3)\\&=3x_1^2-12+3x_2^2-12+3x_3^2-12\\&=3(x_1^2+x_2^2+x_3^2)-36\\&=3(x_1+x_2+x_3)^2-6(x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3)-36\\&=-6(-12)-36=36\end{aligned}$이다.

(3-3) 편의상 $\displaystyle g_1(x)<0<g_2(x)$라고 하자. 이 두 함수들은 모두 $\displaystyle f(0)$보다 큰 모든 실수들에서 정의되어 있다. 실수 $\displaystyle a$가 부등식 $\displaystyle a>f(0)$을 만족한다고 하자. 이때 $\displaystyle x_0=g_1(a)$라 두면 $\displaystyle f(x_0)=f(-x_0)=a$이다. 따라서 $\displaystyle g_2(a)=-x_0$이고 $\displaystyle g_1(a)+g_2(a)=0$이다. 또한 합성함수의 미분에 의해$\displaystyle f^{\prime}(-x_0)=-f^{\prime}(x_0)$이다. 이제 문제의 두 번째 식의 값은$\displaystyle g_1^{\prime}(a)+g_2^{\prime}(a)=\frac1{f^{\prime}(x_0)}+\frac1{f^{\prime}(-x_0)}=0$이다.