자연계열 4번

(4-1) $\displaystyle H(x)=\int_a^x h(t)\,dt$라고 하면, 위의 등식으로부터 모든 $\displaystyle x\in[a,b]$에 대하여 $\displaystyle H(x)=0$이다. 그런데, 정적분과 미분의 관계로부터 $\displaystyle 0=H^{\prime}(x)=h(x)$이다.

(4-2) $\displaystyle h(x)=\sqrt{\{f^{\prime}(x)\}^2+\{g^{\prime}(x)\}^2}-\sqrt{\{f^{\prime}(x)\}^2}$라고 하면, 위 등식으로부터 $\displaystyle \int_a^b h(t)\,dt=0$이고, 구간 $\displaystyle [a,b]$에서 $\displaystyle \{f^{\prime}(x)\}^2+\{g^{\prime}(x)\}^2\ge\{f^{\prime}(x)\}^2$이므로 $\displaystyle h(x)\ge0$이다. 제시문 (나)에 의하여 구간 $\displaystyle [a,b]$에서 $\displaystyle h(x)=0$이 성립한다. 따라서 모든 $\displaystyle x\ (a\le x\le b)$에 대하여 $\displaystyle \sqrt{\{f^{\prime}(x)\}^2+\{g^{\prime}(x)\}^2}=\sqrt{\{f^{\prime}(x)\}^2}$이므로 $\displaystyle g^{\prime}(x)=0$이다. 이는 $\displaystyle g(x)$는 상수 함수임을 의미하고, $\displaystyle g(a)=0$이므로 구간 $\displaystyle [a,b]$에서 $\displaystyle g(x)=0$이다.

(4-3) 점 $\displaystyle Q$는 위치가 $\displaystyle 0\le t\le\frac\pi2$일 때 $\displaystyle x=f(t),y=g(t)$이고, $\displaystyle \frac\pi2\le t\le\pi$일 때$\displaystyle x=2f(t)-f\left(\frac\pi2\right),\ y=3g(t)-2g\left(\frac\pi2\right)$로 주어지는 평면운동을 한다고 하자. 그러면, 문제의 식은 점 $\displaystyle Q$가 시각 $\displaystyle t=0$에서 시각 $\displaystyle t=\pi$까지 움직인 거리이다. 문제의 조건에서 점 $\displaystyle Q$는 시각 $\displaystyle t=0$일 때 원점에 위치하고 시각 $\displaystyle t=\frac\pi2$일 때, 직선 $\displaystyle y=1$ 위에 있고 시각 $\displaystyle t=\pi$에서는 좌표가 점 $\displaystyle (1,-2)$이고, 시각 $\displaystyle t=0$에서 시각 $\displaystyle t=\pi$까지 움직인 거리를 최소로 하는 운동이다. 이 운동은 제시문 (다)에 의하여 아래 [그림1]에서 직선 $\displaystyle O\to A\to B$ 운동이다. 아래 [그림1]에서 시각 $\displaystyle t=\frac\pi2$일 때 점 $\displaystyle A\left(f\left(\frac\pi2\right),1\right)$는 원점 $\displaystyle O$와 시각 $\displaystyle t=\pi$일 때 점 $\displaystyle B(1,-2)$을 직선 $\displaystyle y=1$에 대칭시킨 점 $\displaystyle C(1,4)$를 지나는 직선 $\displaystyle y=4x$ 위에 있다. 따라서 $\displaystyle f\left(\frac\pi2\right)=\frac14$이다. $\displaystyle 0\le t\le\frac\pi2$일 때,$\displaystyle f(t)=x=\frac14y=\frac14g(t)=\frac14\sin^2t$이다. 따라서 $\displaystyle f\left(\frac\pi3\right)=\frac14\sin^2\frac\pi3=\frac14\frac34=\frac3{16}$이다.