자연계열 4번

(가) 좌표평면 위를 움직이는 점 $\displaystyle P$의 시각 $\displaystyle t$에서의 위치가 $\displaystyle x=f(t),y=g(t)$일 때, $\displaystyle t=a$에서 $\displaystyle t=b\ (a\le b)$까지 점 $\displaystyle P$가 움직인 거리 $\displaystyle s$는 식 $\displaystyle s=\int_a^b\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt=\int_a^b\sqrt{\{f^{\prime}(t)\}^2+\{g^{\prime}(t)\}^2}\,dt$로 주어진다.

(나) 구간 $\displaystyle [a,b]$에서 정의된 연속인 함수 $\displaystyle h(x)$가 구간 전체에서 $\displaystyle h(x)\ge0$을 만족하고 $\displaystyle \int_a^b h(x)\,dx=0$이면, 구간 전체에서 $\displaystyle h(x)=0$임을 다음과 같이 증명할 수 있다.모든 $\displaystyle x\in[a,b]$에 대하여 $\displaystyle h(x)\ge0$이므로, $\displaystyle \int_a^x h(t)\,dt\ge0$이고 $\displaystyle \int_x^b h(t)\,dt\ge0$이다. 그런데,$\displaystyle \int_a^x h(t)\,dt+\int_x^b h(t)\,dt=\int_a^b h(x)\,dx=0$이고 좌변의 두 항은 모두 음이 아닌 실수이므로, $\displaystyle \int_a^x h(t)\,dt=0$이고 $\displaystyle \int_x^b h(t)\,dt=0$이다.$\displaystyle \boxed{\text{㉠}}$따라서 구간 $\displaystyle [a,b]$에서 $\displaystyle h(x)=0$이다.

(다) 평면 위의 두 점 $\displaystyle A(a_1,a_2),\ B(b_1,b_2)$가 있을 때, 점 $\displaystyle A$에서 점 $\displaystyle B$까지 움직인 거리를 최소로 하는 운동은 직선 $\displaystyle AB$를 따라 움직이는 것이다. 이 명제를 $\displaystyle A(0,0)$와 $\displaystyle B(1,0)$에 대해서 다음과 같이 증명할 수 있다.점 $\displaystyle P$의 시각 $\displaystyle t\ (a\le t\le b)$에서의 위치가 $\displaystyle x=f(t),y=g(t)$일 때(단, $\displaystyle f(t),g(t)$는 도함수가 연속인 함수), 점 $\displaystyle P$가 시각 $\displaystyle t=a$에서 $\displaystyle t=b$까지 점 $\displaystyle A(0,0)$에서 점 $\displaystyle B(1,0)$까지 움직인 거리를 최소로 하면서 운동한다고 하자. 점 $\displaystyle P$에서 직선 $\displaystyle AB$에 내린 수선의 발을 $\displaystyle Q$라고 하면, $\displaystyle Q$는 $\displaystyle t=a$에서 $\displaystyle t=b$까지 직선 $\displaystyle AB$ 위를 움직이고 $\displaystyle Q$의 좌표는 $\displaystyle (f(t),0)$이다. $\displaystyle \{f^{\prime}(t)\}^2+\{g^{\prime}(t)\}^2\ge\{f^{\prime}(t)\}^2$이므로, 점 $\displaystyle P$가 움직인 거리 $\displaystyle \int_a^b\sqrt{\{f^{\prime}(t)\}^2+\{g^{\prime}(t)\}^2}\,dt$는 점 $\displaystyle Q$가 움직인 거리 $\displaystyle \int_a^b\sqrt{0^2+\{f^{\prime}(t)\}^2}\,dt$보다 크거나 같다. 점 $\displaystyle Q$도 시각 $\displaystyle t=a$에서 $\displaystyle t=b$까지 점 $\displaystyle A(0,0)$에서 점 $\displaystyle B(1,0)$까지 운동하는데, 점 $\displaystyle P$는 시각 $\displaystyle t=a$에서 $\displaystyle t=b$까지 점 $\displaystyle A(0,0)$에서 점 $\displaystyle B(1,0)$까지 움직인 거리를 최소로 하는 운동이라고 가정하였으므로,$\displaystyle \int_a^b\sqrt{\{f^{\prime}(t)\}^2+\{g^{\prime}(t)\}^2}\,dt=\int_a^b\sqrt{\{f^{\prime}(t)\}^2}\,dt$이 성립한다.$\displaystyle \boxed{\text{㉡}}$따라서 점 $\displaystyle P$와 점 $\displaystyle Q$는 임의의 시각 $\displaystyle t\in[a,b]$에서 같은 위치를 갖고, 점 $\displaystyle P$는 직선 $\displaystyle AB$를 따라 운동한다.일반적인 두 점 $\displaystyle A(a_1,a_2),\ B(b_1,b_2)$에 대해서도 비슷한 방법으로 증명할 수 있다.