자연계열 2번

(2-1) 학생들이 종이를 뽑는 전체 경우의 수는 $\displaystyle n!$이 된다. 이 때 편성된 조가 한 개가 될 경우의 수는 처음부터 학생들을 한 개의 원형 책상에 둘러서게 하는 경우의 수와 같다. 즉 원순열의 개수 $\displaystyle (n-1)!$과 같다. 따라서 편성된 조가 한 개가 될 확률은 $\displaystyle \frac{(n-1)!}{n!}=\frac1n$이다.

(2-2) 편성된 조가 두 개가 되는 경우의 수는 두 개의 원형 책상 A, B에 1번 학생이 포함된 조와 그렇지 않은 조의 학생들을 각각 둘러서게 하는 경우의 수와 같다. 이제 2번부터 $\displaystyle n$번까지의 학생들 중 1번 학생과 같이 책상 A에 배치할 학생을 $\displaystyle k-1$명을 선택한다. 이 경우의 수는$\displaystyle {}_{n-1}\mathrm C_{k-1}=\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}$이다. 선택되지 않은 나머지 $\displaystyle n-k$명의 학생은 책상 B에 배치를 한다. 책상 B에 반드시 한 명 이상의 학생이 있어야 하므로, $\displaystyle k$의 범위는 $\displaystyle 1\le k\le n-1$이 된다. 책상 A에 1번 학생과 선택된 $\displaystyle k$명의 학생을 둘러서게 배치를 하는 경우의 수는 $\displaystyle (k-1)!$이다. 책상 B에 나머지 $\displaystyle n-k$명의 학생을 둘러서게 배치를 하는 경우의 수는 $\displaystyle (n-k-1)!$이다. 그러므로 총 경우의 수는 다음과 같다.$\displaystyle \begin{aligned}\sum_{k=1}^{n-1}{}_{n-1}\mathrm C_{k-1}(k-1)!(n-k-1)!&=\sum_{k=1}^{n-1}\frac{(n-1)!}{(n-k)}\\&=(n-1)!\left\{\frac1{n-1}+\frac1{n-2}+\cdots+\frac12+1\right\}\\&=(n-1)!H_{n-1}\end{aligned}$따라서 편성된 조가 두 개가 될 확률은 $\displaystyle \frac{(n-1)!H_{n-1}}{n!}=\frac{H_{n-1}}n$이다.

(2-3) 8명의 학생을 문제 구성(※)과 같이 조 편성을 할 때, $\displaystyle n=8$이므로, (2-1)에 의해서 정확히 1개의 조로 편성될 확률은 $\displaystyle \frac18$이고, (2-2)에 의해서 정확히 2개의 조로 편성될 확률은 $\displaystyle \frac{H_7}8=\frac{363}{1120}$이 된다. 따라서 여사건 확률에 의해 세 개 이상의 조로 편성될 확률은 $\displaystyle 1-\frac18-\frac{363}{1120}=\frac{617}{1120}$이 된다.