의예과 2번

(2-1) $\displaystyle f^\prime(x)=4x(x-1)(x+1)$이므로, $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=0$에서 극댓값 0, $\displaystyle x=\pm1$에서 극솟값 $\displaystyle -1$을 갖고, 함수 $\displaystyle f(x)$의 그래프는 $\displaystyle y$축에 대하여 대칭이다.$\displaystyle f(x)-f(0)=x^2(x^2-2)$이므로, $\displaystyle f(x)=f(0)$이 아닌 근은 $\displaystyle \pm\sqrt2$이다.Correction. 이 줄은 방정식 $\displaystyle f(x)=f(0)$의 근 중 0이 아닌 근이 $\displaystyle \pm\sqrt2$라는 뜻이다. “$\displaystyle f(x)=f(0)$이 아닌 근”은 잘못된 표현이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.따라서 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$는 $\displaystyle [-\sqrt2,\sqrt2]$와 같다.

(2-2) $\displaystyle a_n=\sqrt{2n\pi-\frac32\pi}$, $\displaystyle b_n=\sqrt{2n\pi+\frac52\pi}$이므로,

부등식 $\displaystyle b_n-a_n<\frac{\sqrt\pi}5$은 $\displaystyle \sqrt{2n+2.5}+\sqrt{2n-1.5}>20$과 동치이다.$\displaystyle n=50$이면, $\displaystyle \sqrt{102.5}+\sqrt{98.5}>(10+0.1)+(10-0.1)=20$이고,$\displaystyle n=49$이면, $\displaystyle \sqrt{100.5}+\sqrt{96.5}<(10+0.1)+(10-0.1)=20$이므로 $\displaystyle n=50$이 조건을 만족하는 가장 작은 자연수이다.

(a) 함수 $\displaystyle f(t)=\sin(t+2\frac\pi4)=\sin(t+\frac\pi2)$의 구간 $\displaystyle [0,1]$에서의 $\displaystyle t=0$일 때 최댓값 $\displaystyle f(g(\frac\pi4))$를 갖는다. 따라서 $\displaystyle g(\frac\pi4)=0$이다.

(b) $\displaystyle 0\le x\le1$일 때, 함수 $\displaystyle f(t)=\sin(t+\alpha x)$의 구간 $\displaystyle [0,1]$에서의 최댓값 $\displaystyle f(g(x))$는 함수 $\displaystyle h(t)=f(t-\alpha x)=\sin t$의 구간 $\displaystyle [\alpha x,\alpha x+1]$에서의 최댓값 $\displaystyle \sin(g(x)+\alpha x)$와 같다.$\displaystyle \alpha x+1<\frac\pi2$이면, $\displaystyle g(x)+\alpha x=\alpha x+1$ 즉 $\displaystyle g(x)=1$.$\displaystyle \alpha x\le\frac\pi2\le\alpha x+1$이면, $\displaystyle g(x)+\alpha x=\frac\pi2$ 즉 $\displaystyle g(x)=-\alpha x+\frac\pi2$.$\displaystyle \frac\pi2<\alpha x<\frac32\pi-\frac12$이면, $\displaystyle g(x)+\alpha x=\alpha x$ 즉 $\displaystyle g(x)=0$.그런데, $\displaystyle \alpha x=\frac32\pi-\frac12$이면, $\displaystyle g(x)+\alpha x=\frac32\pi-\frac12$ 또는 $\displaystyle g(x)+\alpha x=\frac32\pi+\frac12$, 즉 $\displaystyle g(x)=0$ 또는 1이고,$\displaystyle \frac32\pi-\frac12<\alpha x<2\pi$이면, $\displaystyle g(x)+\alpha x=\alpha x+1$ 즉 $\displaystyle g(x)=1$이어야 한다.

따라서 $\displaystyle g(x)$가 $\displaystyle [0,1]$에서 연속이려면 $\displaystyle \alpha\le\frac32\pi-\frac12$이어야 하므로 $\displaystyle \alpha$의 값 중에서 가장 큰 값은 $\displaystyle \frac32\pi-\frac12$이다.