자연계열 1번

(1-1) $\displaystyle \overline{PQ}=10\tan\frac{\pi}{8}$이다.

한편 제시문에 의해$\displaystyle \tan^2\frac{\pi}{8}=\frac{1-\cos\frac{\pi}{4}}{1+\cos\frac{\pi}{4}}=\frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}=\frac{(2-\sqrt{2})^2}{4-2}=(\sqrt{2}-1)^2$이므로 $\displaystyle \overline{PQ}=10(\sqrt{2}-1)$이다.

(1-2) $\displaystyle \theta=\angle PAM$이라고 하면$\displaystyle k=\overline{PM}+\overline{MQ}=5\tan\theta+5\tan\left(\frac{\pi}{4}-\theta\right)=5\left(\tan\theta+\frac{1-\tan\theta}{1+\tan\theta}\right)=5\frac{1+\tan^2\theta}{1+\tan\theta}$이므로,

$\displaystyle 5\tan^2\theta-k\tan\theta+(5-k)=0$이고, $\displaystyle \tan\theta=\frac{k\pm\sqrt{k^2-20(5-k)}}{10}$이다.$\displaystyle \tan\theta=\frac{\overline{PM}}{\overline{AM}}>\frac{k}{10}$이므로 $\displaystyle \tan\theta=\frac{k+\sqrt{k^2+20k-100}}{10}$이다.따라서 $\displaystyle \overline{MN}=\overline{PM}-\overline{PN}=5\tan\theta-\frac{k}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{k^2+20k-100}$이다.

(1-3) $\displaystyle \angle PAM=\theta$라 두면, $\displaystyle \overline{PM}=5\tan\theta$이다. $\displaystyle \angle BAM=\frac{\pi}{4}$이므로$\displaystyle 1=\tan\frac{\pi}{4}=\frac{\overline{BP}+\overline{PM}}{5}=\frac{x+5\tan\theta}{5}$로부터 $\displaystyle 5\tan\theta=5-x$이다.$\displaystyle \begin{aligned}k=\overline{PQ}&=\overline{PM}+\overline{MQ}=5\tan\theta+5\tan\left(\frac{\pi}{4}-\theta\right)=5\tan\theta+\frac{5-5\tan\theta}{1+\tan\theta}\\&=5-x+\frac{5-5+x}{1+1-\frac{x}{5}}=5-x+\frac{5x}{10-x}=\frac{x^2-10x+50}{10-x}\end{aligned}$

이므로 $\displaystyle k$를 $\displaystyle x$에 대해 미분하여 미분값이 $\displaystyle 0$일 때의 $\displaystyle x$를 구하면 $\displaystyle x=10-5\sqrt{2}$가 된다.이때의 $\displaystyle k$의 값은 $\displaystyle 10(\sqrt{2}-1)$이고 이 값은 (1-1)에서 얻은 값과 같다.