자연계열 2번

인하대 2023학년도 모의 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/inha/2023mo/jayeon_2

[문제 2] (35점) 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

(가) $\displaystyle x$ 축의 양의 방향과 이루는 각이 $\displaystyle \alpha$ 이고 점 $\displaystyle (x_0,y_0)$ 을 지나는 직선의 방정식은 $\displaystyle y=\tan\alpha(x-x_0)+y_0$ Caution. 직선의 기울기를 이용할 때는 $\displaystyle y$ 축에 평행한 경우를 따로 다루어야 한다: 제시문 (가)의 직선이 $\displaystyle y$ 축과 평행하면 $\displaystyle \tan\alpha$ 가 정의되지 않으므로 방정식은 $\displaystyle x=x_0$ 으로 나타내야 한다. 이 문제의 소문항에서 주어진 각도 범위에는 이 경우가 들어 있지 않아 답에는 영향이 없다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(나) 두 함수 $\displaystyle f(x),g(x)$ 가 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속일 때, 두 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 와 $\displaystyle y=g(x)$ 및 두 직선 $\displaystyle x=a$ , $\displaystyle x=b$ 로 둘러싸인 도형의 넓이 $\displaystyle S$ 는 $\displaystyle S=\int_a^b|f(x)-g(x)|dx$

(다) 이차방정식 $\displaystyle ax^2+bx+c=0$ 의 두 근을 $\displaystyle \alpha,\beta$ 라고 하면 $\displaystyle \alpha+\beta=-\frac{b}{a},\ \alpha\beta=\frac{c}{a}$

(※) 포물선 $\displaystyle y=x^2$ 위의 점 $\displaystyle (1,1)$ 을 $\displaystyle P$ 라 하자. $\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{4}$ 인 $\displaystyle \theta$ 에 대하여 점 $\displaystyle P$ 를 지나고 $\displaystyle x$ 축의 양의 방향과 이루는 각이 $\displaystyle \theta$ 인 직선 $\displaystyle l$ 과 포물선 $\displaystyle y=x^2$ 으로 둘러싸인 도형의 넓이를 $\displaystyle S(\theta)$ 라 할 때, 다음 질문에 답하시오.

(2-1) $\displaystyle S(\pi/6)$ 를 구하시오. [10점]

(2-2) $\displaystyle S(\theta)$ 의 값을 $\displaystyle \theta$ 의 식으로 나타내시오. [10점]

(2-3) 직선 $\displaystyle l$ 과 평행하며 $\displaystyle y=x^2$ 의 그래프와 제 $\displaystyle 1$ 사분면에서 접하는 직선을 $\displaystyle l^{\prime}$ 라 하자. 직선 $\displaystyle l$ 과 $\displaystyle l^{\prime}$ 사이의 거리를 $\displaystyle h$ 라 할 때, $\displaystyle h$ 를 $\displaystyle \theta$ 에 관한 식으로 나타내고, $\displaystyle l$ 의 기울기가 $\displaystyle \frac{1}{2}$ 일 때, $\displaystyle \frac{dh}{d\theta}$ 의 값을 구하시오. [15점]

해설강의 준비중

인하대 2023학년도 모의 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/inha/2023mo/jayeon_2

+3점 · 직선의 방정식을 구하면

(2-1) $\displaystyle \theta=\pi/6$ 일 때 직선 $\displaystyle l$ 의 방정식은 제시문 (가)를 이용하면 $\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{3}}(x-1)+1$ 이 된다.

+4점 · 교점을 구하면

문제의 조건에서 $\displaystyle x=1$ 이 직선 $\displaystyle l$ 과 곡선 $\displaystyle y=x^2$ 의 교점이 됨을 알 수 있다. 제시문 (다)를 이용하여 직선 $\displaystyle l$ 과 곡선 $\displaystyle y=x^2$ 의 두 교점을 모두 구하면 $\displaystyle x=1,\frac{1}{\sqrt{3}}-1$ 이 된다.

+3점 · 정적분을 정확히 계산하면

제시문 (나)를 이용하면 $\displaystyle S\left(\frac{\pi}{6}\right)=\int_{\frac{1}{\sqrt{3}}-1}^1\left(\frac{1}{\sqrt{3}}(x-1)+1-x^2\right)dx=\frac{1}{6}\left(2-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^3=\frac{1}{54}(90-37\sqrt{3})=\frac{5}{3}-\frac{37\sqrt{3}}{54}$ 이 된다.

+3점 · 직선의 방정식을 구하면

(2-2) $\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{4}$ 일 때, $\displaystyle S(\theta)$ 는 (2-1)의 과정을 일반화하여 구할 수 있다. 즉, 제시문 (가)를 이용하면 구하고자 하는 직선의 방정식은 $\displaystyle y=\tan\theta(x-1)+1$ 이고,

+4점 · 교점을 구하면

제시문 (다)의 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하면 $\displaystyle x=1,\tan\theta-1$ 에서 교점이 생긴다는 것을 알 수 있다.

+3점 · 정적분을 정확히 계산하면

(2-1)에서와 같이 제시문 (나)를 이용하면 $\displaystyle S(\theta)=\int_{\tan\theta-1}^1\left(\tan\theta(x-1)+1-x^2\right)dx=\frac{1}{6}(2-\tan\theta)^3$ 이 된다. 따라서 구하고자 하는 답은 $\displaystyle S(\theta)=\frac{1}{6}(2-\tan\theta)^3$ 이 된다.

+3점 · 접점을 구하면

(2-3) 접선의 기울기가 $\displaystyle \tan\theta$ 가 되는 접점의 $\displaystyle x$ 좌표는 $\displaystyle \frac{\tan\theta}{2}$ 가 된다. 따라서, 접점의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac{\tan\theta}{2},\left(\frac{\tan\theta}{2}\right)^2\right)$ 이고

+3점 · 접선의 방정식을 구하면

직선 $\displaystyle l^{\prime}$ 의 방정식은 $\displaystyle y=\tan\theta x-\left(\frac{\tan\theta}{2}\right)^2$ 이 된다.

+3점 ·

\displaystyle h

를

\displaystyle \theta

에 관한 식으로 나타내면

$\displaystyle h$ 의 값은 $\displaystyle h=\frac{\left|\left(\frac{\tan\theta}{2}\right)^2-\tan\theta+1\right|}{\sqrt{(\tan\theta)^2+1}}=\frac{1}{4}\cos\theta(\tan\theta-2)^2$ 이 된다.

+3점 ·

\displaystyle \tan\theta=\frac{1}{2}

일 때,

\displaystyle \sin\theta,\cos\theta

의 값을 정확히 구하면

+3점 ·

\displaystyle \frac{dh}{d\theta}

를 정확히 구하면

$\displaystyle \frac{dh}{d\theta}=-\frac{1}{4}\sin\theta(\tan\theta-2)^2+\frac{1}{2}\sec\theta(\tan\theta-2)$ 이고, 기울기가 $\displaystyle \frac{1}{2}$ 일 때, $\displaystyle \sin\theta=\frac{1}{\sqrt{5}}$ , $\displaystyle \cos\theta=\frac{2}{\sqrt{5}}$ , $\displaystyle \tan\theta=\frac{1}{2}$ 이므로 $\displaystyle \frac{dh}{d\theta}=-\frac{39\sqrt{5}}{80}$ 가 된다.

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