자연계열 2번

(2-1) $\displaystyle \theta=\pi/6$일 때 직선 $\displaystyle l$의 방정식은 제시문 (가)를 이용하면 $\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{3}}(x-1)+1$이 된다. 문제의 조건에서 $\displaystyle x=1$이 직선 $\displaystyle l$과 곡선 $\displaystyle y=x^2$의 교점이 됨을 알 수 있다. 제시문 (다)를 이용하여 직선 $\displaystyle l$과 곡선 $\displaystyle y=x^2$의 두 교점을 모두 구하면 $\displaystyle x=1,\frac{1}{\sqrt{3}}-1$이 된다. 제시문 (나)를 이용하면$\displaystyle S\left(\frac{\pi}{6}\right)=\int_{\frac{1}{\sqrt{3}}-1}^1\left(\frac{1}{\sqrt{3}}(x-1)+1-x^2\right)dx=\frac{1}{6}\left(2-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^3=\frac{1}{54}(90-37\sqrt{3})=\frac{5}{3}-\frac{37\sqrt{3}}{54}$이 된다.

(2-2) $\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{4}$일 때, $\displaystyle S(\theta)$는 (2-1)의 과정을 일반화하여 구할 수 있다. 즉, 제시문 (가)를 이용하면 구하고자 하는 직선의 방정식은 $\displaystyle y=\tan\theta(x-1)+1$이고, 제시문 (다)의 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하면 $\displaystyle x=1,\tan\theta-1$에서 교점이 생긴다는 것을 알 수 있다. (2-1)에서와 같이 제시문 (나)를 이용하면$\displaystyle S(\theta)=\int_{\tan\theta-1}^1\left(\tan\theta(x-1)+1-x^2\right)dx=\frac{1}{6}(2-\tan\theta)^3$이 된다. 따라서 구하고자 하는 답은 $\displaystyle S(\theta)=\frac{1}{6}(2-\tan\theta)^3$이 된다.

(2-3) 접선의 기울기가 $\displaystyle \tan\theta$가 되는 접점의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle \frac{\tan\theta}{2}$가 된다. 따라서, 접점의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac{\tan\theta}{2},\left(\frac{\tan\theta}{2}\right)^2\right)$이고직선 $\displaystyle l^{\prime}$의 방정식은 $\displaystyle y=\tan\theta x-\left(\frac{\tan\theta}{2}\right)^2$이 된다. $\displaystyle h$의 값은$\displaystyle h=\frac{\left|\left(\frac{\tan\theta}{2}\right)^2-\tan\theta+1\right|}{\sqrt{(\tan\theta)^2+1}}=\frac{1}{4}\cos\theta(\tan\theta-2)^2$이 된다.$\displaystyle \frac{dh}{d\theta}=-\frac{1}{4}\sin\theta(\tan\theta-2)^2+\frac{1}{2}\sec\theta(\tan\theta-2)$이고, 기울기가 $\displaystyle \frac{1}{2}$일 때, $\displaystyle \sin\theta=\frac{1}{\sqrt{5}}$, $\displaystyle \cos\theta=\frac{2}{\sqrt{5}}$,$\displaystyle \tan\theta=\frac{1}{2}$이므로 $\displaystyle \frac{dh}{d\theta}=-\frac{39\sqrt{5}}{80}$가 된다.