자연계열 3번

(3-1) 제시문 (나)에 의하여 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle [2,\infty)$에서 증가함수이므로

$\displaystyle a\ge2$이면 명제는 성립하지 않는다.$\displaystyle a<2$이고 $\displaystyle a\neq-2$이면 $\displaystyle x=2$일 때 두 부등식 $\displaystyle x>a$, $\displaystyle f(x)<f(a)$가 성립하므로 명제는 참이다.$\displaystyle a=-2$이면 명제는 성립하지 않으므로 구하려는 집합은 $\displaystyle (-\infty,-2)\cup(-2,2)$이다.

(3-2) (a) $\displaystyle x>0$이면 $\displaystyle g(x)=f^{\prime}(x)=2x-4$, $\displaystyle x<0$이면 $\displaystyle g(x)=f^{\prime}(x)=2x+4$이다.$\displaystyle g(0)=\lim_{x\to0+}f^{\prime}(x)=\lim_{x\to0+}(2x-4)=-4$이므로,

함수 $\displaystyle g(x)$의 그래프의 개형은 다음과 같다.

(b) 평균값의 정리에 의하여 명제$\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\lim_{x\to c+}f^{\prime}(x)$이고 $\displaystyle a<c<b$인 실수 $\displaystyle c$가 존재한다.는 $\displaystyle b>a\ge0$ 또는 $\displaystyle 0\ge b>a$일 때 참이므로 반례는 $\displaystyle a<0,b>0$인 범위에서 찾아야 한다. 예를 들어 $\displaystyle a=-2,b=2$라고 하면

$\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0$이고 $\displaystyle -2<c<2$일 때 (a)의 그래프의 개형으로부터 $\displaystyle f^{\prime}(c)\neq0$이므로 명제는 거짓이다.Correction. 여기서는 $\displaystyle f^{\prime}(c)$ 대신 $\displaystyle g(c)=\lim_{x\to c+}f^{\prime}(x)$를 써야 한다. $\displaystyle c=0$에서 $\displaystyle f^{\prime}(c)$는 정의되지 않는다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(3-3) 명제가 성립하는 $\displaystyle k$의 최솟값은 $\displaystyle 4$이다. (3-2)(b)에서 $\displaystyle b-a=4$이고 명제$\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\lim_{x\to c+}f^{\prime}(x)$이고 $\displaystyle a<c<b$인 실수 $\displaystyle c$가 존재한다.가 성립하지 않는 $\displaystyle a,b$의 예를 구하였으므로 명제가 참이려면 $\displaystyle k\ge4$이어야 한다.

역으로 $\displaystyle b-a>4$이라고 가정하자.$\displaystyle b>a\ge0$ 또는 $\displaystyle 0\ge b>a$이면 평균값의 정리에 의해 명제가 성립한다. $\displaystyle a<0,b>0$이라면, 기울기 $\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$는 두 점 $\displaystyle (0,f(0))$과 $\displaystyle (b,f(b))$를 지나는 직선의 기울기 $\displaystyle \frac{f(b)-f(0)}{b-0}$과 두 점 $\displaystyle (a,f(a))$와 $\displaystyle (0,f(0))$을 지나는 직선의 기울기 $\displaystyle \frac{f(0)-f(a)}{0-a}$의 사이에 있는 값 (또는 두 기울기가 같은 경우 두 기울기와 같은 값)이어야 한다. 이 각각의 기울기는 평균값의 정리에 의하여 어떤 $\displaystyle \alpha,\beta$에 대하여 $\displaystyle g(\alpha),g(\beta)\ (a<\alpha<0,0<\beta<b)$와 같다. 그런데, (3-2)(a)에서 구한 함수 $\displaystyle g(x)$의 그래프의 개형으로부터 $\displaystyle b-a>4$이고 $\displaystyle a<0,b>0$이면 $\displaystyle g(b)>g(a)$이므로 $\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=g(\gamma)$인 실수 $\displaystyle \gamma\ (a<\gamma<b)$가 반드시 존재한다.(실제로 $\displaystyle b-a>4$일 때, $\displaystyle g(b)>g(a)$이므로 열린구간 $\displaystyle (a,b)$에서 정의된 함수 $\displaystyle g(x)$의 치역은 $\displaystyle -4\le a<0$, $\displaystyle 0<b<4$이면 구간 $\displaystyle [-4,4)$, $\displaystyle a<-4,0<b<4$이면 구간 $\displaystyle (g(a),4)$, $\displaystyle -4\le a<0,\ b\ge4$이면 구간 $\displaystyle [-4,g(b))$이고, $\displaystyle a<-4,b\ge4$이면 구간 $\displaystyle (g(a),g(b))$이므로 하나의 구간으로 이루어진다. 따라서 임의의 $\displaystyle \alpha,\beta\ (a<\alpha,\beta<b)$에 대하여 $\displaystyle g(\alpha),g(\beta)$ 사이에 있는 임의의 값은 다시 함수 $\displaystyle g(x)$의 구간 $\displaystyle (a,b)$에서의 치역에 속한다.)