의예과 3번

(3-1) $\displaystyle 2$ 이상인 자연수의 역수는 항상 $\displaystyle 1$보다 작으므로 $\displaystyle 1$개의 원소로 이루어진 조화로운 집합은 존재하지 않는다.또한, $\displaystyle 2$ 이상인 서로 다른 두 자연수 $\displaystyle a,b$에 대하여 $\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\le\frac{1}{2}+\frac{1}{3}<1$이므로 집합 $\displaystyle \{a,b\}$는 조화로운 집합이 될 수 없다.따라서 조화로운 집합은 반드시 $\displaystyle 3$개 이상의 원소를 포함해야 한다.

(3-2) (a) $\displaystyle A$가 서로 다른 $\displaystyle n$개의 자연수로 이루어졌다고 하고, $\displaystyle A=\{a_1,a_2,\ldots,a_n\}$라 하자. 집합 $\displaystyle B=\{2,2a_1,2a_2,\ldots,2a_n\}$이 문제의 조건을 만족하는 조화로운 집합임을 증명하자. 먼저, $\displaystyle 1\notin A$이므로 $\displaystyle 2,2a_1,2a_2,\ldots,2a_n$은 모두 다른 자연수이다. 그리고 $\displaystyle B$의 정의에 의하여, 임의의 $\displaystyle x\in A$에 대하여 $\displaystyle 2x\in B$임을 알 수 있다. 또한, $\displaystyle A$가 조화로운 집합이므로 $\displaystyle \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n}=1$을 만족한다. 따라서 $\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{2a_1}+\frac{1}{2a_2}+\cdots+\frac{1}{2a_n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$이 성립하고,$\displaystyle B$가 문제의 조건을 만족하는 조화로운 집합임을 알 수 있다.

(b) $\displaystyle X=\{3,4,5,6,20\}$, $\displaystyle Y=\{3x\mid x\in X\}$라 하자. $\displaystyle X$의 원소 중 $\displaystyle 3$의 배수는 $\displaystyle 6$뿐인데, $\displaystyle X$는 $\displaystyle 2$를 포함하지 않으므로 두 집합 $\displaystyle X$와 $\displaystyle Y$는 서로소이다.Correction. 집합 X에 속한 3의 배수는 3과 6이다. 1과 2가 X에 없으므로 두 집합이 서로소라는 결론에는 영향이 없다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.그리고 $\displaystyle X$가 조화로운 집합이므로 $\displaystyle Y$의 원소의 역수의 합은 $\displaystyle \frac{1}{3}$이다. 집합 $\displaystyle A=(X-\{3\})\cup Y$가 조건을 만족하는 조화로운 집합임을 보이자. 우선, $\displaystyle 2,3\notin A$는 자명하다.$\displaystyle A$의 원소의 역수의 합은($\displaystyle X$의 원소의 역수의 합)$\displaystyle -\frac{1}{3}+$($\displaystyle Y$의 원소의 역수의 합)$\displaystyle =1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=1$이므로$\displaystyle A$는 조화로운 집합이다. 또한, $\displaystyle n(A)=n(X)+n(Y)-1=9$이므로 조화로운 집합 $\displaystyle A$는 문제의 조건을 만족한다.

(3-3) (a) $\displaystyle \frac{1}{m}=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}$은 $\displaystyle (p-m)(q-m)=m^2$과 동치인데, 이 등식은 $\displaystyle p-m=1,q-m=m^2$일 때 성립하므로,$\displaystyle p=m+1,q=m^2+m$일 때 성립한다.

(b) 수학적 귀납법을 이용하여 증명하자. $\displaystyle n=9$일 때, (3-2)에서 $\displaystyle 2$와 $\displaystyle 3$을 포함하지 않고 원소의 개수가 $\displaystyle 9$인 조화로운 집합의 존재성을 증명하였다. $\displaystyle n>9$에 대하여, $\displaystyle n-1$일 때 명제가 성립한다고 가정하고, $\displaystyle n$일 때 성립함을 증명하자. $\displaystyle n-1$일 때 명제가 성립하므로 원소의 개수가 $\displaystyle n-1$이고 $\displaystyle 2,3$을 포함하지 않는 조화로운 집합 $\displaystyle X=\{a_1,a_2,\ldots,a_{n-1}\}$이 존재한다. $\displaystyle X$의 원소 중 $\displaystyle a_{n-1}$이 가장 크다고 하자. 이제 다음 집합이 조건을 만족하는 조화로운 집합임을 증명하자.$\displaystyle A=(X-\{a_{n-1}\})\cup\{a_{n-1}+1,a_{n-1}(a_{n-1}+1)\}=\{a_1,a_2,\ldots,a_{n-2},a_{n-1}+1,a_{n-1}(a_{n-1}+1)\}$$\displaystyle a_{n-1}$이 $\displaystyle X$의 원소 중 가장 큰 원소이므로 $\displaystyle a_1,a_2,\ldots,a_{n-2},a_{n-1}+1,a_{n-1}(a_{n-1}+1)$은 모두 다르고,$\displaystyle a_{n-1}+1,a_{n-1}(a_{n-1}+1)$은 모두 $\displaystyle 3$보다 크다. 따라서 $\displaystyle A$의 원소의 개수는 $\displaystyle n$이고, $\displaystyle A$는 $\displaystyle 2$와 $\displaystyle 3$을 포함하지 않는다.한편, (3-3)(a)에 의하여 $\displaystyle A$의 원소의 역수의 합은 $\displaystyle X$의 원소의 역수의 합과 같고, $\displaystyle X$가 조화로운 집합이므로 $\displaystyle A$의 원소의 역수의 합은 $\displaystyle 1$이 된다. 따라서 $\displaystyle A$는 $\displaystyle n$개의 원소를 갖고, $\displaystyle 2,3$을 포함하지 않는 조화로운 집합이다.그러므로 수학적 귀납법에 의하여 $\displaystyle 9$이상인 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 원소의 개수가 $\displaystyle n$이고 $\displaystyle 2,3$을 포함하지 않는 조화로운 집합이 존재한다.