자연계열 1번

경희대 2012학년도 수시 2차 토요일 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/khu/2012su_2_sat/jayeon_1

I. 다음 제시문을 읽고 논제에 답하시오.

[가]

구분구적법이란, 어떤 도형의 넓이 또는 부피를 구할 때 주어진 도형을 세분하여 그 도형의 넓이나 부피의 합으로 근삿값을 구한 뒤에 이 근삿값의 극한값으로 도형의 넓이 또는 부피를 구하는 방법을 말한다. 예컨대 곡선 $\displaystyle y = x^{2}$ , $\displaystyle x$ 축 그리고 직선 $\displaystyle x = 1$ 로 둘러싸인 영역을 A라 할 때, A의 넓이를 구하는 방법에 대해 생각해 보자. 먼저 구간 $\displaystyle [ 0 , 1 ]$ 을 $\displaystyle n$ 등분하면, 양 끝점과 각 소구간의 $\displaystyle x$ 좌표는 차례로 $\displaystyle 0 , \frac{{1}}{n} , \frac{{2}}{n} , \cdots , \frac{{n}}{n}$ 이 되고, 구간 $\displaystyle [ 0 , 1 ]$ 을 분할한 각 소구간의 길이는 $\displaystyle \frac{{1}}{n}$ 이 된다. 각 소구간에서의 왼쪽 끝점에 대응하는 함숫값을 직사각형의 높이로 잡아 그 넓이들의 합을 구해보면

$\displaystyle L_{n} = \frac{{1}}{n} \left( \frac{{0}}{n} \right)^{2} + \frac{{1}}{n} \left( \frac{{1}}{n} \right)^{2} + \cdots + \frac{{1}}{n} \left( \frac{{n - 1}}{n} \right)^{2}$

임을 알 수 있다. 여기에서 $\displaystyle L_{n}$ 을 영역 A의 넓이에 대한“좌종점 근삿값”이라고 부른다. 같은 방법으로 오른쪽 끝점에 대응하는 함숫값을 이용하여 각 소구간에서의 직사각형의 넓이의 합을 구해보면

$\displaystyle R_{n} = \frac{{1}}{n} \left( \frac{{1}}{n} \right)^{2} + \frac{{1}}{n} \left( \frac{{2}}{n} \right)^{2} + \cdots + \frac{{1}}{n} \left( \frac{{n}}{n} \right)^{2}$

이 됨을 알 수 있고, 이를 영역 A의 넓이에 대한 “우종점 근삿값”이라 부른다. 이때 주어진 영역 A의 넓이는 $\displaystyle L_{n}$ 과 $\displaystyle R_{n}$ 사이의 값임을 알고 각각의 수열이 같은 실수로 수렴함을 통해 영역 A의 넓이를 구할 수 있다.

[나]

미적분학의 기본 정리는 다음과 같다 : 구간 $\displaystyle [ a , b ]$ 에서 연속인 함수 $\displaystyle f \left( x \right)$ 의 부정적분 중의 하나를 $\displaystyle F \left( x \right)$ 라 하면,

$\displaystyle \int_{a}^{b} {f \left( x \right) d x = F \left( b \right) - F \left( a \right)}$

미적분학의 기본 정리는 미적분학의 두 분야인 미분학과 적분학 사이의 연관성을 설명하는 중요한 정리이다. 접선의 기울기에 관한 미분학과 영역의 넓이에 관한 적분학이 서로 연관되어 있다는 사실은 배로우(Barrow)에 의해서 증명되었고, 뉴턴(Newton)과 라이프니츠(Leibniz)가 더욱 발전시켰다. 구분구적법 형태로 접근하던 넓이, 부피, 곡선의 길이를 구하는 문제들이 어떤 함수들의 정적분을 구하는 문제로 표현되고, 이러한 정적분들은 미적분학의 기본 정리에 의해 간단히 해결될 수 있다.

<논제 I-1> 제시문 [가]를 참조하여 다음 질문에 답하시오. (15점)

함수 $\displaystyle y = e^{x^{2}} , x$ 축 그리고 직선 $\displaystyle x = 0 , x = 1$ 로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하려고 한다. 하지만 주어진 함수 $\displaystyle y = e^{x^{2}}$ 의 부정적분은 기본적인 함수들로 표현이 불가능하다고 알려져 있다. 이때 좌종점 근삿값 또는 우종점 근삿값을 통해 주어진 영역의 넓이를 예측해 볼 수 있다. 영역의 넓이와 근삿값의 차이를 오차(오차 $\displaystyle =$ 근삿값 $\displaystyle -$ 영역의 넓이)라 정의하였을 때, 제시문 [가]에서 주어진 두 가지의 근삿값 계산법을 이용해 얻어진 오차를 다음의 표 A와 B에 정리하였다. 여기에서 정확한 영역의 넓이는 정밀한 계산법에 의해 얻어졌다고 가정하고, 오차는 소수점 6번째 자리까지 표시하였다.

[표 A]
$\displaystyle n$	오차
2	$\displaystyle -0.538501$
10	$\displaystyle -0.090437$
50	$\displaystyle -0.017364$
250	$\displaystyle -0.003443$

[표 B]
$\displaystyle n$	오차
2	$\displaystyle 0.320639$
10	$\displaystyle 0.081391$
50	$\displaystyle 0.017001$
250	$\displaystyle 0.003429$

Correction. 표 A와 B는 오차의 절댓값이 서로 바뀌어 있다.

\displaystyle n=2

일 때 좌종점 오차는 약

\displaystyle -0.320639

, 우종점 오차는 약

\displaystyle 0.538501

이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(1) 각각의 표는 두 가지 방법 중 어느 방법을 사용하여 얻어진 값인지에 대해서 논술하시오.

(2) 위 표를 근거로 오차를 줄일 수 있는 근사 방법이 있는가? 있다면 그 방법을 함수의 그래프와 관련하여 서술하시오.

<논제 I-2> 제시문 [가]와 [나]를 참조하여 다음 질문에 답하시오. (15점)

주어진 함수의 정적분 영역을 균등하게 $\displaystyle n$ 개의 소구간으로 분할하고 각 소구간에서 그 함수의 그래프와 소구간 사이의 영역(오른쪽 그림의 빗금 친 영역)의 넓이에 근사하는 직사각형의 높이를 구하려고 할 때, 왼쪽 끝점을 이용하거나 오른쪽 끝점을 이용할 수 있다. 또한 오른쪽 그림과 같이 각 소구간의 중점에 대응하는 함수값을 이용하는 것도 정적분의 근삿값을 구하는 좋은 방법이 될 수 있다. 각 소구간의 중점을 이용하는 방법을 적분 영역 $\displaystyle [ 0 , 1 ]$ 에서 함수 $\displaystyle f \left( x \right) = \sqrt{x^{2} + 3 x + 1}$ 에 적용하였을 때, 얻어진 근삿값과 정적분에 대한 대소 관계를 논술하시오(오른쪽 그림에서 $\displaystyle k = 1 , 2 , \cdots , n$ 이고 주어진 그래프와 함수 $\displaystyle f \left( x \right)$ 와의 직접적인 관련은 없다).

<논제 I-3> 제시문 [나]를 참조하여 다음 질문에 답하시오. (10점)

다음의 부등식

$\displaystyle \left( n - 1 \right) ! \leq n^{n} e^{- n} e \leq n !$

이 임의의 양의 정수 $\displaystyle n$ 에 대하여 성립함을 보이시오.

해설강의 준비중

경희대 2012학년도 수시 2차 토요일 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/khu/2012su_2_sat/jayeon_1

<논제 I-1>

(1) 주어진 함수는 증가함수이므로 왼쪽 끝점을 이용하였을 때 근삿값이 영역의 넓이보다 작고, 오른쪽 끝점을 이용하였을 때는 근삿값이 크게 된다. 그래서 왼쪽 끝점을 이용하였을 경우에는 오차가 음수가 나오고, 오른쪽 끝점을 이용하였을 경우는 오차가 양수가 나오게 된다. 따라서, 표 A는 좌종점 근삿값에 대한 오차이고, 표 B는 우종점 근삿값에 대한 오차이다.

(ㄱ)

좌종점 근사값(표 A)

(ㄴ)

우종점 근삿값(표 B)

(ㄷ)

(2) 왼쪽 끝점을 이용한 근사값 $\displaystyle \quad$ 은 실제 영역의 넓이보다 작고, 오른쪽 끝점을 이용한 근사값 $\displaystyle R_{n}$ 은 실제 영역의 넓이보다 크다. 여기에서 두 오차의 평균이 훨씬 $\displaystyle \quad$ 에 가깝다는 사실을 확인하고, 이 사실로부터 $\displaystyle L_{n}$ 과 $\displaystyle R_{n}$ 의 평균값이 영역의 넓이에 더 가까운 근삿값을 만든다는 것을 유추할 수 있다. 이때 $\displaystyle L_{n}$ 과 $\displaystyle R_{n}$ 의 평균값은 각 소구간에서 왼쪽 끝점과 오른쪽 끝점에 대응되는 함수값을 잇는 사다리꼴의 면적의 합과 같음을 위 그림의 (ㄷ)을 통해서 알 수 있다.Correction. “왼쪽 끝점을 이용한 근사값” 뒤에 $\displaystyle L_n$ 이 빠져 있다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.Correction. “두 오차의 평균이 훨씬 가까운 값”은 $\displaystyle 0$ 이다. 원문에는 $\displaystyle 0$ 이 빠져 있다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

<논제 I-2>

함수 $\displaystyle f \left( x \right)$ 의 이계도함수를 살펴보면

Correction. 이계도함수는 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=-\frac5{4(x^2+3x+1)^{3/2}}$ 이다. 원문의 식에는 분수선과 분모의 일부 기호가 빠져 있다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

임을 알 수 있다. 따라서 주어진 함수는 위로 볼록함수가 된다. 이때, 중점에서의 접선의 그래프를 그리고 접선에 의해서 만들어진 두 개의 직각삼각형이 합동이므로(오른쪽 그림 참조) 각 소구간의 중점에 대응하는 함수값을 높이로 갖는 직사각형의 넓이는 그 점에서의 접선을 한 변으로 하는 사다리꼴의 넓이가 같아짐을 알 수 있다. 그런데 함수가 위로 볼록이므로 그 접선은 주어진 함수의 그래프 위쪽에 있게 되고, 따라서 각 소구간에서의 사다리꼴의 넓이가 그 소구간에서의 함수의 정적분값보다 크게 된다. 따라서 이 방법을 통한 근삿값은 실제 정적분값보다 큼을 알 수 있다.

<논제 I-3>

주어진 부등식

Correction. 문제에 제시된 부등식은 $\displaystyle (n-1)!\le n^ne^{-n}e\le n!$ 이다. 답안 PDF의 첫 식에는 여는 괄호와 $\displaystyle n$ 의 지수가 빠져 있다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

을 증명하는 것은 위의 부등식의 모든 변에 로그함수를 취한 부등식

$\displaystyle \ln(2)+\ln(3)+\ldots+\ln(n-1)\le n\ln(n)-n+1\le\ln(2)+\ln(3)+\ldots+\ln(n)$

을 증명하는 것과 같다. 여기서 영역 $\displaystyle [1,n]$ 에서 정의된 함수 $\displaystyle y=\ln(x)$ 를 생각하고, 영역 $\displaystyle [1,n]$ 을 길이가 $\displaystyle 1$ 인 $\displaystyle n$ 개의 소구간으로 나누고 좌종점 근삿값을 구하는 공식을 함수 $\displaystyle y=\ln(x)$ 에 적용하면 다음과 같은 부등식Correction. 길이가 $\displaystyle 1$ 인 소구간의 개수 $\displaystyle n$ 은 $\displaystyle n-1$ 의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

Correction. 부등호 오른쪽은 $\displaystyle \int_1^n\ln(x)\,dx$ 이다. 원문에는 적분기호가 빠져 있다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

을 얻을 수 있다. 이번엔 우종점 근삿값을 구하는 공식을 함수 $\displaystyle y=\ln(x)$ 에 적용하여

$\displaystyle \int_1^n\ln(x)dx\le\ln(2)+\ln(3)+\ldots+\ln(n)$

임을 알 수 있다. 이때, 제시문 2에서 주워진 미적분학의 기본 정리를 이용하면

$\displaystyle \int_1^n\ln(x)dx=\Biggl[x\ln(x)-x\Biggr]_1^n=n\ln(n)-n+1$

임을 알 수 있고, 따라서 원하는 부등식을 보일 수 있다.

좌종점 근삿값　　우종점 근삿값

첨삭 사례

아직 등록된 첨삭 사례가 없습니다.

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개

아직 등록된 질문이 없습니다. 질문 작성은 멤버십 회원만 가능합니다.