자연계열 1번

<논제 I-1>

(1) 주어진 함수는 증가함수이므로 왼쪽 끝점을 이용하였을 때 근삿값이 영역의 넓이보다 작고, 오른쪽 끝점을 이용하였을 때는 근삿값이 크게 된다. 그래서 왼쪽 끝점을 이용하였을 경우에는 오차가 음수가 나오고, 오른쪽 끝점을 이용하였을 경우는 오차가 양수가 나오게 된다. 따라서, 표 A는 좌종점 근삿값에 대한 오차이고, 표 B는 우종점 근삿값에 대한 오차이다.

(ㄱ)

좌종점 근사값(표 A)

(ㄴ)

우종점 근삿값(표 B)

(ㄷ)

(2) 왼쪽 끝점을 이용한 근사값 $\displaystyle \quad$은 실제 영역의 넓이보다 작고, 오른쪽 끝점을 이용한 근사값 $\displaystyle R_{n}$은 실제 영역의 넓이보다 크다. 여기에서 두 오차의 평균이 훨씬 $\displaystyle \quad$에 가깝다는 사실을 확인하고, 이 사실로부터 $\displaystyle L_{n}$과 $\displaystyle R_{n}$의 평균값이 영역의 넓이에 더 가까운 근삿값을 만든다는 것을 유추할 수 있다. 이때 $\displaystyle L_{n}$과 $\displaystyle R_{n}$의 평균값은 각 소구간에서 왼쪽 끝점과 오른쪽 끝점에 대응되는 함수값을 잇는 사다리꼴의 면적의 합과 같음을 위 그림의 (ㄷ)을 통해서 알 수 있다.Correction. “왼쪽 끝점을 이용한 근사값” 뒤에 $\displaystyle L_n$이 빠져 있다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.Correction. “두 오차의 평균이 훨씬 가까운 값”은 $\displaystyle 0$이다. 원문에는 $\displaystyle 0$이 빠져 있다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

<논제 I-2>

함수 $\displaystyle f \left( x \right)$의 이계도함수를 살펴보면

임을 알 수 있다. 따라서 주어진 함수는 위로 볼록함수가 된다. 이때, 중점에서의 접선의 그래프를 그리고 접선에 의해서 만들어진 두 개의 직각삼각형이 합동이므로(오른쪽 그림 참조) 각 소구간의 중점에 대응하는 함수값을 높이로 갖는 직사각형의 넓이는 그 점에서의 접선을 한 변으로 하는 사다리꼴의 넓이가 같아짐을 알 수 있다. 그런데 함수가 위로 볼록이므로 그 접선은 주어진 함수의 그래프 위쪽에 있게 되고, 따라서 각 소구간에서의 사다리꼴의 넓이가 그 소구간에서의 함수의 정적분값보다 크게 된다. 따라서 이 방법을 통한 근삿값은 실제 정적분값보다 큼을 알 수 있다.

<논제 I-3>

주어진 부등식

을 증명하는 것은 위의 부등식의 모든 변에 로그함수를 취한 부등식

$\displaystyle \ln(2)+\ln(3)+\ldots+\ln(n-1)\le n\ln(n)-n+1\le\ln(2)+\ln(3)+\ldots+\ln(n)$

을 증명하는 것과 같다. 여기서 영역 $\displaystyle [1,n]$에서 정의된 함수 $\displaystyle y=\ln(x)$를 생각하고, 영역 $\displaystyle [1,n]$을 길이가 $\displaystyle 1$인 $\displaystyle n$개의 소구간으로 나누고 좌종점 근삿값을 구하는 공식을 함수 $\displaystyle y=\ln(x)$에 적용하면 다음과 같은 부등식Correction. 길이가 $\displaystyle 1$인 소구간의 개수 $\displaystyle n$은 $\displaystyle n-1$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

을 얻을 수 있다. 이번엔 우종점 근삿값을 구하는 공식을 함수 $\displaystyle y=\ln(x)$에 적용하여

$\displaystyle \int_1^n\ln(x)dx\le\ln(2)+\ln(3)+\ldots+\ln(n)$

임을 알 수 있다. 이때, 제시문 2에서 주워진 미적분학의 기본 정리를 이용하면

$\displaystyle \int_1^n\ln(x)dx=\Biggl[x\ln(x)-x\Biggr]_1^n=n\ln(n)-n+1$

임을 알 수 있고, 따라서 원하는 부등식을 보일 수 있다.

좌종점 근삿값　　우종점 근삿값