자연계열 (토요일) 1번

<논제 I-1>

점 $\displaystyle C$를 지나고 직선 $\displaystyle l$에 수직인 직선을 $\displaystyle m$이라고 하자. 점 $\displaystyle A$는 직선 $\displaystyle l$과 $\displaystyle m$의 교점이다. 직선 $\displaystyle l$과 $\displaystyle m$은 $\displaystyle xz$평면에 있으므로 점 $\displaystyle A$의 좌표를 구하기 위해서는 $\displaystyle xz$평면에서 직선 $\displaystyle l$과 $\displaystyle m$의 교점을 구하면 된다. $\displaystyle xz$평면에서의 $\displaystyle l$의 방정식은 $\displaystyle z=x+1$이다. $\displaystyle xz$평면에서 직선 $\displaystyle m$은 직선 $\displaystyle l$에 수직이므로 기울기는 $\displaystyle -1$이고 점 $\displaystyle (0,r)$을 지나므로 직선 $\displaystyle m$의 방정식은 $\displaystyle z=-x+r$이다. 두 방정식 $\displaystyle z=x+1$, $\displaystyle z=-x+r$을 연립해서 풀면 $\displaystyle x=\frac{r-1}2$, $\displaystyle z=\frac{r+1}2$.

그러므로 점 $\displaystyle A$의 공간에서의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac{r-1}2,0,\frac{r+1}2\right)$이다.

<논제 I-2>

직선 $\displaystyle l$이 구에 접하기 위해서는 구의 중심 $\displaystyle C$와 논제 I-1에서 구한 점 $\displaystyle A$ 사이의 거리가 $\displaystyle r$이 되어야 한다. 점 $\displaystyle A$와 $\displaystyle C$사이의 거리는

$\displaystyle \overline{AC}=\sqrt{\left(\frac{r-1}2\right)^2+\left(\frac{r+1}2-r\right)^2}$.

이 거리가 $\displaystyle r$이 되기 위해서는

$\displaystyle \sqrt{\left(\frac{r-1}2\right)^2+\left(\frac{r+1}2-r\right)^2}=r$.

이 식으로부터 방정식 $\displaystyle r^2+2r-1=0$을 얻는다. 이 이차방정식의 양수 해는 $\displaystyle r=-1+\sqrt2$. 따라서 $\displaystyle r=-1+\sqrt2$일 때 직선 $\displaystyle l$은 구에 접한다.

<논제 I-3>

$\displaystyle \overrightarrow{CP}$와 $\displaystyle \overrightarrow{CQ}$가 이루는 각 $\displaystyle \theta$을 알면 점 $\displaystyle P$, $\displaystyle Q$를 지나는 대원의 중심각이 $\displaystyle \theta$인 부채꼴의 호의 길이를 구하면 된다. 중심각 $\displaystyle \theta$를 구하기 위해서 $\displaystyle \angle ACQ=\frac\theta2$인 직각삼각형 $\displaystyle ACQ$를 이용한다. $\displaystyle r=\frac12$일 때, $\displaystyle \overline{QC}=\frac12$, $\displaystyle \overline{AC}=\frac1{2\sqrt2}$이다. 따라서 $\displaystyle \cos\frac\theta2=\frac1{\sqrt2}$. 즉, $\displaystyle \theta=\frac\pi2$. 중심각이 $\displaystyle \frac\pi2$이고 반지름이 $\displaystyle \frac12$인 부채꼴의 호의 길이는 $\displaystyle \frac\pi4$. 그러므로 $\displaystyle P$, $\displaystyle Q$를 잇는 구면 위의 가장 짧은 곡선의 길이는 $\displaystyle \frac\pi4$이다.

<논제 I-4>

주어진 평면이 $\displaystyle y$축에 평행하므로 구와 주어진 평면 사이의 거리는 구와 직선 $\displaystyle l$과의 거리와 같다. 논제 I-1에 의해 $\displaystyle r=-1+\sqrt2$일 때 구와 직선 $\displaystyle l$이 접하므로 평면이 구를 자르기 위해서는 $\displaystyle r$이 $\displaystyle -1+\sqrt2$보다 큰 값을 가져야 한다. 구의 중심과 주어진 평면과의 거리는

$\displaystyle \overline{AC}=\sqrt{\left(\frac{r-1}2\right)^2+\left(\frac{r+1}2-r\right)^2}=\frac{|1-r|}{\sqrt2}$.

따라서 구의 잘려진 윗부분의 부피는 평면에서 반지름이 $\displaystyle r$이고 중심이 원점 $\displaystyle (0,0)$인 원의 일부를 $\displaystyle x$축을 중심으로 회전시켜 얻어지는 회전체의 부피와 같다. $\displaystyle r$의 범위에 따라 다음의 두 경우로 나뉜다.

$\displaystyle -1+\sqrt2<r<1$일 때, 구의 잘려진 윗부분의 부피는 다음의 그래프를 $\displaystyle x$축을 중심으로 회전시켜 얻어지는 회전체의 부피와 같다.

따라서 부피는 적분 $\displaystyle \int_{\frac{1-r}{\sqrt2}}^r\pi(r^2-x^2)\,dx$ (혹은 $\displaystyle \int_{-r}^{\frac{r-1}{\sqrt2}}\pi(r^2-x^2)\,dx$)를 계산하면 된다.

$\displaystyle r\ge1$일 때는 구의 잘려진 윗부분의 부피는 다음의 그래프를 $\displaystyle x$축을 중심으로 회전시켜 얻어지는 회전체의 부피와 같다.

따라서 부피는 적분 $\displaystyle \int_{-r}^{\frac{r-1}{\sqrt2}}\pi(r^2-x^2)\,dx$ (혹은 $\displaystyle \int_{\frac{1-r}{\sqrt2}}^r\pi(r^2-x^2)\,dx$)를 계산하면 된다.