경희대 2013학년도 수시 2차 자연계열 (토요일) 1번 해설

I. 다음 제시문을 읽고 논제에 답하시오.

[가]

공간에서 두 점 $\displaystyle A \left( x_{1} , y_{1} , z_{1} \right) , B \left( x_{2} , y_{2} , z_{2} \right)$ 사이의 거리는

$\displaystyle \overline{AB} = \sqrt{\left( x_{2} - x_{1} \right)^{2} + \left( y_{2} - y_{1} \right)^{2} + \left( z_{2} - z_{1} \right)^{2}}$

공간에서 한 점 $\displaystyle C$ 로부터 일정한 거리에 있는 점 $\displaystyle P$ 의 집합을 구라고 한다. 좌표공간에서 중심이 점 $\displaystyle C \left( a , b , c \right)$ 이고 반지름의 길이가 $\displaystyle r$ 인 구의 방정식은 다음과 같다.

$\displaystyle \left( x - a \right)^{2} + \left( y - b \right)^{2} + \left( z - c \right)^{2} = r^{2}$

공간에서 도형 $\displaystyle F$ 의 각 점에서 평면 $\displaystyle \alpha$ 에 내린 수선의 발로 이루어진 도형 $\displaystyle F^{\prime}$ 을 도형 $\displaystyle F$ 의 평면 $\displaystyle \alpha$ 위로의 정사영이라고 한다. 예를 들어, 위에서 주어진 구의 $\displaystyle x z$ 평면 위로의 정사영은 $\displaystyle \left( x - a \right)^{2} + \left( z - c \right)^{2} \leq r^{2}$ 을 만족하는 $\displaystyle x z$ 평면 위의 점의 집합이다.

[나]

공간에서 두 점 $\displaystyle A \left( x_{1} , y_{1} , z_{1} \right) , B \left( x_{2} , y_{2} , z_{2} \right)$ 를 지나는 직선의 방정식은

$\displaystyle \frac{{x - x_{1}}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{{y - y_{1}}}{y_{2} - y_{1}} = \frac{{z - z_{1}}}{z_{2} - z_{1}}$ (단, $\displaystyle x_{1} \ne x_{2} , y_{1} \ne y_{2} , z_{1} \ne z_{2}$ )

이 직선의 $\displaystyle x z$ 평면 위로의 정사영은 $\displaystyle \frac{{x - x_{1}}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{{z - z_{1}}}{z_{2} - z_{1}}$ 을 만족한다.

[다]

구에서의 대원은 구의 중심을 지나는 평면으로 구를 자를 때 생기는 원이다. 구면 위의 두 점을 잇는 구면 위의 최단경로의 길이는 두 점을 지나가는 대원을 이용해 구할 수 있다. 공간에서 평면이 구를 자를 때, 구의 잘린 부분의 부피는 회전체 부피를 구하는 방법을 이용해 구할 수 있다.

<논제 I-1> (9점)

공간에서 두 점 $\displaystyle \left( - 1 , 0 , 0 \right) , \left( 1 , 0 , 2 \right)$ 를 지나는 직선 $\displaystyle l$ 위의 점 $\displaystyle A$ 와 점 $\displaystyle C \left( 0 , 0 , r \right)$ 사이의 거리가 최소가 되는 점 $\displaystyle A$ 의 좌표를 구하시오. (구해진 최솟값은 직선 $\displaystyle l$ 과 점 $\displaystyle C$ 사이의 거리가 된다.)

<논제 I-2> (9점)

중심이 $\displaystyle C \left( 0 , 0 , r \right)$ 이고 반지름이 $\displaystyle r$ 인 $\displaystyle \left( r > 0 \right)$ 구가 점 $\displaystyle \left( - 1 , 0 , 0 \right)$ 과 점 $\displaystyle \left( 1 , 0 , 2 \right)$ 를 지나는 직선 $\displaystyle l$ 에 접하기 위한 $\displaystyle r$ 의 값을 구하고 그 방법을 서술하시오.

<논제 I-3> (10점)

$\displaystyle r = \frac{{1}}{2}$ 일 때, 위 논제에서 제시된 구와 직선 $\displaystyle l$ 은 두 점 $\displaystyle P , Q$ 에서 만난다. 이 두 점을 잇는 구면 위의 가장 짧은 곡선을 구하는 방법을 설명하고 그 곡선의 길이를 구하시오.

<논제 I-4> (12점)

점 $\displaystyle \left( - 1 , 0 , 0 \right) , \left( 1 , 0 , 2 \right) , \left( - 1 , 1 , 0 \right)$ 을 지나는 평면(이 평면은 위 논제에서 제시된 직선 $\displaystyle l$ 을 포함하고 $\displaystyle y$ 축과 평행하다)은 $\displaystyle r$ 의 범위에 따라 위 논제에서 주어진 구(중심이 $\displaystyle C \left( 0 , 0 , r \right)$ 이고 반지름이 $\displaystyle r$ 인 구)와 만나지 않을 수도, 접할 수도, 혹은 그 구를 자를 수도 있다. 주어진 평면이 구를 자를 때, 구의 잘려진 윗부분의 부피를 $\displaystyle r$ 의 범위에 따라 어떻게 계산할 수 있는지 적분식을 이용해 논술하시오. (적분값을 구할 필요는 없음)

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<논제 I-1>

점 $\displaystyle C$ 를 지나고 직선 $\displaystyle l$ 에 수직인 직선을 $\displaystyle m$ 이라고 하자. 점 $\displaystyle A$ 는 직선 $\displaystyle l$ 과 $\displaystyle m$ 의 교점이다. 직선 $\displaystyle l$ 과 $\displaystyle m$ 은 $\displaystyle xz$ 평면에 있으므로 점 $\displaystyle A$ 의 좌표를 구하기 위해서는 $\displaystyle xz$ 평면에서 직선 $\displaystyle l$ 과 $\displaystyle m$ 의 교점을 구하면 된다. $\displaystyle xz$ 평면에서의 $\displaystyle l$ 의 방정식은 $\displaystyle z=x+1$ 이다. $\displaystyle xz$ 평면에서 직선 $\displaystyle m$ 은 직선 $\displaystyle l$ 에 수직이므로 기울기는 $\displaystyle -1$ 이고 점 $\displaystyle (0,r)$ 을 지나므로 직선 $\displaystyle m$ 의 방정식은 $\displaystyle z=-x+r$ 이다. 두 방정식 $\displaystyle z=x+1$ , $\displaystyle z=-x+r$ 을 연립해서 풀면 $\displaystyle x=\frac{r-1}2$ , $\displaystyle z=\frac{r+1}2$ .

그러므로 점 $\displaystyle A$ 의 공간에서의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac{r-1}2,0,\frac{r+1}2\right)$ 이다.

<논제 I-2>

직선 $\displaystyle l$ 이 구에 접하기 위해서는 구의 중심 $\displaystyle C$ 와 논제 I-1에서 구한 점 $\displaystyle A$ 사이의 거리가 $\displaystyle r$ 이 되어야 한다. 점 $\displaystyle A$ 와 $\displaystyle C$ 사이의 거리는

$\displaystyle \overline{AC}=\sqrt{\left(\frac{r-1}2\right)^2+\left(\frac{r+1}2-r\right)^2}$ .

이 거리가 $\displaystyle r$ 이 되기 위해서는

$\displaystyle \sqrt{\left(\frac{r-1}2\right)^2+\left(\frac{r+1}2-r\right)^2}=r$ .

이 식으로부터 방정식 $\displaystyle r^2+2r-1=0$ 을 얻는다. 이 이차방정식의 양수 해는 $\displaystyle r=-1+\sqrt2$ . 따라서 $\displaystyle r=-1+\sqrt2$ 일 때 직선 $\displaystyle l$ 은 구에 접한다.

<논제 I-3>

$\displaystyle \overrightarrow{CP}$ 와 $\displaystyle \overrightarrow{CQ}$ 가 이루는 각 $\displaystyle \theta$ 을 알면 점 $\displaystyle P$ , $\displaystyle Q$ 를 지나는 대원의 중심각이 $\displaystyle \theta$ 인 부채꼴의 호의 길이를 구하면 된다. 중심각 $\displaystyle \theta$ 를 구하기 위해서 $\displaystyle \angle ACQ=\frac\theta2$ 인 직각삼각형 $\displaystyle ACQ$ 를 이용한다. $\displaystyle r=\frac12$ 일 때, $\displaystyle \overline{QC}=\frac12$ , $\displaystyle \overline{AC}=\frac1{2\sqrt2}$ 이다. 따라서 $\displaystyle \cos\frac\theta2=\frac1{\sqrt2}$ . 즉, $\displaystyle \theta=\frac\pi2$ . 중심각이 $\displaystyle \frac\pi2$ 이고 반지름이 $\displaystyle \frac12$ 인 부채꼴의 호의 길이는 $\displaystyle \frac\pi4$ . 그러므로 $\displaystyle P$ , $\displaystyle Q$ 를 잇는 구면 위의 가장 짧은 곡선의 길이는 $\displaystyle \frac\pi4$ 이다.

<논제 I-4>

주어진 평면이 $\displaystyle y$ 축에 평행하므로 구와 주어진 평면 사이의 거리는 구와 직선 $\displaystyle l$ 과의 거리와 같다. 논제 I-1에 의해 $\displaystyle r=-1+\sqrt2$ 일 때 구와 직선 $\displaystyle l$ 이 접하므로 평면이 구를 자르기 위해서는 $\displaystyle r$ 이 $\displaystyle -1+\sqrt2$ 보다 큰 값을 가져야 한다. 구의 중심과 주어진 평면과의 거리는

$\displaystyle \overline{AC}=\sqrt{\left(\frac{r-1}2\right)^2+\left(\frac{r+1}2-r\right)^2}=\frac{|1-r|}{\sqrt2}$ .

따라서 구의 잘려진 윗부분의 부피는 평면에서 반지름이 $\displaystyle r$ 이고 중심이 원점 $\displaystyle (0,0)$ 인 원의 일부를 $\displaystyle x$ 축을 중심으로 회전시켜 얻어지는 회전체의 부피와 같다. $\displaystyle r$ 의 범위에 따라 다음의 두 경우로 나뉜다.

$\displaystyle -1+\sqrt2<r<1$ 일 때, 구의 잘려진 윗부분의 부피는 다음의 그래프를 $\displaystyle x$ 축을 중심으로 회전시켜 얻어지는 회전체의 부피와 같다.

따라서 부피는 적분 $\displaystyle \int_{\frac{1-r}{\sqrt2}}^r\pi(r^2-x^2)\,dx$ (혹은 $\displaystyle \int_{-r}^{\frac{r-1}{\sqrt2}}\pi(r^2-x^2)\,dx$ )를 계산하면 된다.

$\displaystyle r\ge1$ 일 때는 구의 잘려진 윗부분의 부피는 다음의 그래프를 $\displaystyle x$ 축을 중심으로 회전시켜 얻어지는 회전체의 부피와 같다.

따라서 부피는 적분 $\displaystyle \int_{-r}^{\frac{r-1}{\sqrt2}}\pi(r^2-x^2)\,dx$ (혹은 $\displaystyle \int_{\frac{1-r}{\sqrt2}}^r\pi(r^2-x^2)\,dx$ )를 계산하면 된다.

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자연계열 (토요일) 1번

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