자연계열 (일요일) 1번

<논제 I-1>

(1) 타원의 초점이 $\displaystyle F_1=(-1,0)$, $\displaystyle F_2=(1,0)$이고, 타원 위의 한 점이 $\displaystyle B=(0,1)$이므로 장축의 길이는 타원의 성질에 의해 $\displaystyle 2a=d(F_1,B)+d(F_2,B)$이며, $\displaystyle a=\sqrt2$이다. 그리고 단축의 길이는 그림에서 $\displaystyle b=1$이다. 따라서 타원방정식은 $\displaystyle \frac{x^2}2+y^2=1$이 된다.Caution. 타원 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ($\displaystyle a>b>0$)의 장축의 길이는 $\displaystyle a$가 아니라 $\displaystyle 2a$이고, 단축의 길이는 $\displaystyle b$가 아니라 $\displaystyle 2b$이다: 논제 I-1의 예시답안에서 $\displaystyle B=(0,1)$이므로 중심에서 단축의 끝점까지의 거리는 $\displaystyle b=1$이고, 단축 전체의 길이는 $\displaystyle 2b=2$이다. 따라서 “단축의 길이는 $\displaystyle b=1$”이라는 표현은 잘못되었다. 뒤에서는 $\displaystyle b=1$을 단축 길이의 절반으로 사용하여 타원의 방정식을 $\displaystyle \frac{x^2}{2}+y^2=1$로 올바르게 구하고 있으므로, 이 표현 오류는 이후 계산에 영향을 주지 않는다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

타원 위의 임의의 점 $\displaystyle X=(x_0,y_0)$에서 접선의 기울기는 타원방정식을 $\displaystyle x$에 관해 미분을 하여 $\displaystyle x+2y\frac{dy}{dx}=0$을 얻고, 이 식에 점 $\displaystyle X=(x_0,y_0)$를 대입하여 구하면 $\displaystyle m_0=-\frac{x_0}{2y_0}$이다.

$\displaystyle \alpha$는 직선 $\displaystyle l_0$와 선분 $\displaystyle XF_1$의 사잇각이므로 (기울기를 이용하여 $\displaystyle v_0$를 결정)

$\displaystyle v_0=(-2y_0,x_0)$, $\displaystyle v_1=(-1-x_0,-y_0)$ 두 벡터의 사잇각이 되고, $\displaystyle \alpha$가 예각이므로 $\displaystyle \cos\alpha=\frac{|v_0\cdot v_1|}{\lVert v_0\rVert\lVert v_1\rVert}$이다. $\displaystyle \frac{x_0^2}2+y_0^2=1$이므로 대입하여 정리하면 $\displaystyle \cos\alpha=\frac{|y_0|}{\sqrt{1+y_0^2}}$이다.

(계산과정은 아래 참조)

$\displaystyle \left(\cos\alpha=\frac{|v_0\cdot v_1|}{\lVert v_0\rVert\lVert v_1\rVert}=\frac{|2y_0+2x_0y_0-x_0y_0|}{\sqrt{4y_0^2+x_0^2}\sqrt{(1+x_0)^2+y_0^2}}=\frac{|y_0(x_0+2)|}{\sqrt{2y_0^2+2}\sqrt{\frac{x_0^2}2+2x_0+2}}=\frac{|y_0(x_0+2)|}{\sqrt{y_0^2+1}|x_0+2|}\right)$

(2) (1)에서와 동일한 방법으로 각 $\displaystyle \beta$는 직선 $\displaystyle l_0$와 선분 $\displaystyle XF_2$의 사잇각이므로, 각 $\displaystyle \beta$는 두 벡터 $\displaystyle -v_0=-(-2y_0,x_0)$, $\displaystyle v_2=(1-x_0,-y_0)$의 사잇각이 된다. 따라서, $\displaystyle \cos\beta=\frac{|v_0\cdot v_2|}{\lVert v_0\rVert\lVert v_2\rVert}$이고, $\displaystyle \frac{x_0^2}2+y_0^2=1$이므로 대입하여 정리하면 $\displaystyle \cos\beta=\frac{|y_0|}{\sqrt{1+y_0^2}}$.

(1)의 결과와 $\displaystyle \cos\beta$의 결과로부터 $\displaystyle \cos\alpha=\cos\beta$임을 보일 수 있고 $\displaystyle \cos x$는 $\displaystyle x\in[0\;\frac\pi2]$에서 일대일 함수이므로 $\displaystyle \alpha=\beta$이다.

<논제 I-2>

타원의 방정식은 동일하며, 점 $\displaystyle C=(3,0)$으로 주어졌으므로, 접점 $\displaystyle X=(x_0,y_0)$를 구하기 위해 먼저 접점을 지나는 직선 $\displaystyle y=-\frac{x_0}{2y_0}(x-x_0)+y_0$을 구한다. 이 직선이 $\displaystyle C=(3,0)$을 지나므로 $\displaystyle (x_0,y_0)$는 $\displaystyle 0=-\frac{x_0}{2y_0}(3-x_0)+y_0$을 만족하고, 이 식과 $\displaystyle \frac{x_0^2}2+y_0^2=1$을 연립하면 $\displaystyle (x_0,y_0)=\left(\frac23,\frac{\sqrt7}3\right)$이다.

빗금 친 부분을 $\displaystyle x$축을 중심으로 회전한 회전체의 부피는 점 $\displaystyle C$와 $\displaystyle X$를 지나는 직선을 $\displaystyle x$의 구간 $\displaystyle \left[\frac23,3\right]$에서 $\displaystyle x$축을 중심으로 회전한 회전체의 부피 $\displaystyle V_1$에서 타원의 일부인 곡선을 회전한 회전체의 부피 $\displaystyle V_2$를 뺀 것과 같다.

$\displaystyle V_1=\int_{\frac23}^3\frac17(x-3)^2\pi\,dx=\frac{49}{81}\pi$ (혹은 반지름이 $\displaystyle \frac{\sqrt7}3$, 높이가 $\displaystyle \frac73$인 원뿔의 부피로 계산)

$\displaystyle V_2=\int_{\frac23}^{\sqrt2}y^2\pi\,dx=\pi\int_{\frac23}^{\sqrt2}\left(1-\frac{x^2}2\right)dx=\pi\left(\frac23\sqrt2-\frac{50}{81}\right)$, $\displaystyle V_1-V_2=\pi\frac{11-6\sqrt2}9$.

<논제 I-3>

(1)회전체에 내접하면서 부피가 최대가 되는 직육면체의 꼭짓점들 중 $\displaystyle (x,y,z)$ 성분이 모두 양수인 점을 $\displaystyle (a,b,c)$라고 하자. 이 직육면체의 각 면들이 $\displaystyle xy$, $\displaystyle yz$, 혹은 $\displaystyle zx$평면과 평행이므로, 다른 꼭짓점들은 $\displaystyle (a,b,c)$와 대칭인 위치에 있다.

또한 $\displaystyle (a,b,c)$는 회전체 위의 점이므로 타원 위의 점 $\displaystyle (a,y,0)$을 $\displaystyle x$축을 중심으로 회전하여 얻게 된다. 즉, $\displaystyle (a,b,c)=(a,y\cos\theta,y\sin\theta)$이다.

따라서 직육면체의 부피는 $\displaystyle 2a\,2b\,2c=8ay^2\cos\theta\sin\theta$이다.

이때, 부피가 최대가 되는 $\displaystyle \theta$는 $\displaystyle \cos\theta\sin\theta=\frac12\sin2\theta=\frac12$일 때이므로, $\displaystyle \theta=\frac\pi4$이다.

(2) (1)의 결과로 직육면체 $\displaystyle R$의 부피는 $\displaystyle 4ay^2$이다.

$\displaystyle (a,y)$는 타원 위의 점이므로 $\displaystyle y^2=1-\frac{a^2}2$를 대입하면, 직육면체의 부피는 $\displaystyle 4a-2a^3$이 된다.

위 식에서 $\displaystyle a\in[0,\sqrt2]$이므로 $\displaystyle f(a)=4a-2a^3$로 두면 $\displaystyle a=\sqrt{\frac23}$에서 $\displaystyle f(a)$가 최대가 된다.

(그리고 이때, $\displaystyle y=\sqrt{\frac23}$이다.)

따라서 부피가 최대가 되는 $\displaystyle a=\sqrt{\frac23}$, $\displaystyle b,c=\sqrt{\frac13}$이므로, 가로, 세로, 높이는 $\displaystyle 2\sqrt{\frac23}$, $\displaystyle 2\sqrt{\frac13}$, $\displaystyle 2\sqrt{\frac13}$으로 결정된다.