자연계열 1번

[논제 I-1]

논제에서는 각 지점에서 소리를 감지한 시각만 주어져 있어 시간차만을 알 수 있다. 지점 B에서 소리를 감지한 시각 $\displaystyle t_{\mathrm B}$와 지점 A에서 소리를 감지한 시각 $\displaystyle t_{\mathrm A}$의 차이 $\displaystyle t_{\mathrm B}-t_{\mathrm A}$가 $\displaystyle 3$초이다. 지점 P에서 지점 A와 B까지 거리를 각각 $\displaystyle d_{\mathrm A}$와 $\displaystyle d_{\mathrm B}$라고 하면 소리의 속력이 $\displaystyle 1\mathrm{km}/$초로 일정하기 때문에 $\displaystyle d_{\mathrm B}-d_{\mathrm A}$는 속력과 시간차를 곱한 $\displaystyle 3\mathrm{km}$임을 알 수 있다. 지점 P의 좌표 $\displaystyle (x,y)$가 초점을 A와 B로 하고 거리의 차가 $\displaystyle 3$인 쌍곡선의 방정식을 만족한다. 똑같은 방법을 지점 C와 D에 적용하면 $\displaystyle P(x,y)$는 초점을 C와 D로 하고 거리의 차가 $\displaystyle 1$인 쌍곡선의 방정식을 또한 만족한다. 지점 A, B, C, D가 서로 다르기 때문에 이 두 쌍곡선의 방정식을 동시에 만족하는 좌표는 총 $\displaystyle 4$개가 존재하고 지점 P의 좌표가 그 중 하나이다. 또한, 지점 A가 B보다 먼저 소리를 감지하였고, 지점 C가 D보다 먼저 감지하였기 때문에 네 개의 해 중에서 P의 좌표를 유일하게 결정할 수 있다.Comment. 논제 I-2에 주어진 좌표에서는 도착 순서로 한 점을 정할 수 있다. 다만 $\displaystyle A,B,C,D$가 서로 다르다는 사실만으로 교점의 개수나 $\displaystyle P$의 유일성이 보장되지는 않는다. 예를 들어$\displaystyle A=(0,0),\quad B=(\sqrt{33},0),\quad C=(3,0),\quad D=(2\sqrt5,0)$이면 $\displaystyle P=(0,4)$와 $\displaystyle P=(0,-4)$에서 각 지점까지의 거리가 모두 같아, 거리차와 도착 순서로 두 점을 구별할 수 없다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

[논제 I-2]

지점 O를 원점, O를 지나는 동서 방향선을 $\displaystyle x$축, O를 지나는 남북 방향선을 $\displaystyle y$축, 단위를 km로 대응하면 행성의 지표면을 좌표 평면으로 생각할 수 있다. 두 초점이 $\displaystyle \mathrm A(2,0)$와 $\displaystyle \mathrm B(-2,0)$이고 거리의 차가 3인 쌍곡선의 방정식은 $\displaystyle \frac{x^2}{9/4}-\frac{y^2}{7/4}=1$이고, 두 초점이 $\displaystyle \mathrm C(0,1)$와 $\displaystyle \mathrm D(0,-1)$이고 거리의 차가 1인 쌍곡선의 방정식은 $\displaystyle \frac{x^2}{3/4}-\frac{y^2}{1/4}=-1$이다. 이 두 방정식을 연립하여 해를 구하면 $\displaystyle (x,y)=\left(\pm\frac{3\sqrt2}{2},\pm\frac{\sqrt7}{2}\right)$이다.

그런데, 지점 A가 B보다 P에 더 가깝기 때문에 P의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle \frac{3\sqrt2}{2}$이고, 지점 C가 지점 D보다 P에 더 가까워 P의 $\displaystyle y$좌표는 $\displaystyle \frac{\sqrt7}{2}$이다. 따라서 외계 생물은 탐사선 O에서 동쪽으로 $\displaystyle \frac{3\sqrt2}{2}\mathrm{km}$, 북쪽으로 $\displaystyle \frac{\sqrt7}{2}\mathrm{km}$ 떨어진 곳에 위치한다.

[논제 I-3]

주어진 관계식 $\displaystyle d_{\mathrm A}-d_{\mathrm B}+d_{\mathrm E}-d_{\mathrm F}=3\sqrt t$와 $\displaystyle d_{\mathrm A}-d_{\mathrm B}-d_{\mathrm E}+d_{\mathrm F}=\sqrt t$를 더하면 $\displaystyle 2(d_{\mathrm A}-d_{\mathrm B})=4\sqrt t$를 얻고 $\displaystyle d_{\mathrm A}-d_{\mathrm B}=2\sqrt t$임을 알 수 있다. 한편, 두 방정식의 차이를 구하면 관계식 $\displaystyle d_{\mathrm E}-d_{\mathrm F}=\sqrt t$를 얻는다. 이를 이용하여 초점 A와 B를 가지고 거리의 차가 $\displaystyle 2\sqrt t$인 쌍곡선의 방정식은 $\displaystyle \frac{x^2}{t}-\frac{y^2}{4-t}=1$이고, 초점 E와 F를 가지고 거리의 차가 $\displaystyle \sqrt t$인 쌍곡선의 방정식은 $\displaystyle \frac{x^2}{t}-\frac{y^2}{1-t}=1$임을 알 수 있다. 외계 생물의 위치 $\displaystyle (x,y)$는 두 쌍곡선의 방정식을 동시에 만족하므로 연립하여 풀면 $\displaystyle x^2=\frac{-t^2+5t}{4}$, $\displaystyle y^2=\frac{t^2-5t+4}{4}$를 얻는다. 따라서 $\displaystyle (x,y)$는 방정식 $\displaystyle x^2+y^2=1$을 만족한다. 그러므로 외계 생물은 탐사선에서 거리 $\displaystyle 1\mathrm{km}$를 유지하며 원의 일부분을 따라 움직이고 있음을 알 수 있다.Correction. 쌍곡선의 식 $\displaystyle \frac{x^2}{t}-\frac{y^2}{1-t}=1$에서 오른쪽의 $\displaystyle 1$은 $\displaystyle 1/4$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.