자연계열 (토요일) 1번

[논제 I-1]

$\displaystyle \theta = \frac{\pi}{3}$이면 원의 중심에 대하여 대칭이므로 $\displaystyle \mathrm{A}_{1}$을 포함하는 경우만 생각하면 된다.

표기의 편의를 위하여 삼각형 $\displaystyle \mathrm{A}_{i} \mathrm{A}_{j} \mathrm{A}_{k}$는 $\displaystyle ( i , j , k )$로 표시하기로 한다.

주어진 조건을 만족하는 삼각형은 $\displaystyle ( 1 , 2 , 4 )$, $\displaystyle ( 1 , 2 , 5 )$, $\displaystyle ( 1 , 3 , 4 )$, $\displaystyle ( 1 , 3 , 5 )$, $\displaystyle ( 1 , 3 , 6 )$, $\displaystyle ( 1 , 4 , 5 )$, $\displaystyle ( 1 , 4 , 6 )$의 $\displaystyle 7$가지 종류가 있다.

이 중에서 $\displaystyle ( 1 , 2 , 4 )$, $\displaystyle ( 1 , 2 , 5 )$, $\displaystyle ( 1 , 3 , 4 )$, $\displaystyle ( 1 , 3 , 6 )$, $\displaystyle ( 1 , 4 , 5 )$, $\displaystyle ( 1 , 4 , 6 )$는 합동인 직각삼각형이고,

$\displaystyle ( 1 , 3 , 5 )$는 정삼각형이다.

각각의 넓이는 $\displaystyle \frac{{1}}{2} \cdot 1 \cdot {\sqrt{3}} = \frac{{\sqrt{3}}}{2}$, $\displaystyle \frac{{\sqrt{3}}}{4} \cdot ( \sqrt{3} )^{2} = \frac{{3 \sqrt{3}}}{4}$이다.

따라서 확률분포표는 아래와 같다.

$\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c}X&\frac{\sqrt3}{2}&\frac{3\sqrt3}{4}&\text{계}\\\hline\mathrm{P}(X=x)&\frac67&\frac17&1\end{array}$

그러므로 확률변수 $\displaystyle X$의 평균은 $\displaystyle \frac{6}{7} \cdot \frac{{\sqrt{3}}}{2} + \frac{1}{7} \cdot \frac{{3 \sqrt{3}}}{4} = \frac{{15 \sqrt{3}}}{28}$이다.

[논제 I-2]

$\displaystyle \theta$가 임의의 각일 때, 주어진 점들이 $\displaystyle x$축, $\displaystyle y$축에 대하여 대칭임을 감안하여 주어진 조건을 만족하는 삼각형을 분류하자.

삼각형은 $\displaystyle ( 1 , 2 , 4 )$, $\displaystyle ( 1 , 2 , 5 )$, $\displaystyle ( 1 , 3 , 4 )$, $\displaystyle ( 1 , 3 , 5 )$, $\displaystyle ( 1 , 3 , 6 )$, $\displaystyle ( 2 , 3 , 5 )$, $\displaystyle ( 2 , 3 , 6 )$의 $\displaystyle 7$가지 종류가 있다.

이 중에서 $\displaystyle ( 1 , 2 , 4 )$, $\displaystyle ( 1 , 2 , 5 )$, $\displaystyle ( 2 , 3 , 5 )$, $\displaystyle ( 2 , 3 , 6 )$는 합동인 직각삼각형이고,

$\displaystyle ( 1 , 3 , 4 )$, $\displaystyle ( 1 , 3 , 6 )$도 서로 합동인 직각삼각형이며,

$\displaystyle ( 1 , 3 , 5 )$는 이등변삼각형이다.

중심각을 이용하여 각각의 넓이와 그 확률을 구하면 아래와 같다.

$\displaystyle ( 1 , 2 , 4 )$, $\displaystyle ( 1 , 2 , 5 )$, $\displaystyle ( 2 , 3 , 5 )$, $\displaystyle ( 2 , 3 , 6 )$: 넓이 $\displaystyle \frac{{1}}{2} \cdot 1^{2} \cdot \sin \theta \cdot 2 = \sin \theta$, 확률 $\displaystyle \frac{{4}}{7}$

$\displaystyle ( 1 , 3 , 4 )$, $\displaystyle ( 1 , 3 , 6 )$: 넓이 $\displaystyle \frac{{1}}{2} \cdot 1^{2} \cdot \sin 2 \theta \cdot 2 = \sin 2 \theta$, 확률 $\displaystyle \frac{{2}}{7}$

$\displaystyle ( 1 , 3 , 5 )$: 넓이 $\displaystyle 2 \cdot \frac{{1}}{2} \cdot 1^{2} \cdot \sin \theta + \frac{{1}}{2} \cdot 1^{2} \cdot \sin 2 \theta = \sin \theta + \frac{{1}}{2} \sin 2 \theta$, 확률 $\displaystyle \frac{{1}}{7}$

따라서 확률변수 $\displaystyle X$의 평균은 $\displaystyle \frac{{4}}{7} \sin \theta + \frac{{2}}{7} \sin 2 \theta + \frac{{1}}{7} \left( \sin \theta + \frac{{1}}{2} \sin 2 \theta \right) = \frac{{5}}{14} \left( 2 \sin \theta + \sin 2 \theta \right)$이다.

[논제 I-3]

확률변수 $\displaystyle X$의 평균은

$\displaystyle f ( \theta ) = \frac{{5}}{14} \left( 2 \sin \theta + \sin 2 \theta \right)$ $\displaystyle \left( 0 < \theta < \frac{\pi}{2} \right)$이다.

$\displaystyle f^{\prime} ( \theta ) = \frac{{5}}{14} \left( 2 \cos \theta + 2 \cos 2 \theta \right) = \frac{{5}}{7} \left( \cos \theta + \cos 2 \theta \right) = \frac{{5}}{7} \left( \cos \theta + 2 \cos^{2} \theta - 1 \right) = \frac{{5}}{7} \left( 2 \cos \theta - 1 \right) \left( \cos \theta + 1 \right)$

따라서 $\displaystyle 0 < \theta < \frac{{\pi}}{2}$의 범위에서 $\displaystyle f^{\prime} ( \theta ) = 0$이 되는 경우는 $\displaystyle \cos \theta = \frac{{1}}{2}$, 즉 $\displaystyle \theta = \frac{{\pi}}{3}$이다.

$\displaystyle f^{\prime \prime} ( \theta ) = \frac{{5}}{7} \left( - \sin \theta - 2 \sin 2 \theta \right) < 0$이므로 $\displaystyle \theta = \frac{{\pi}}{3}$에서 극대이다.

$\displaystyle f ( 0 ) = 0$, $\displaystyle f \left( \frac{{\pi}}{2} \right) = \frac{{5}}{7} = \frac{{20}}{28}$, $\displaystyle f \left( \frac{{\pi}}{3} \right) = \frac{{15 \sqrt{3}}}{28}$이므로

$\displaystyle \theta = \frac{{\pi}}{3}$일 때, 확률변수 $\displaystyle X$의 평균이 최대가 된다.

[논제 I-4]

$\displaystyle \mathrm{B}_{6}$의 좌표가 $\displaystyle ( p , q )$이므로 $\displaystyle 0 < p < a$, $\displaystyle 0 < q < \frac{{1}}{a}$이다.

또한 $\displaystyle ( p , q )$는 타원 $\displaystyle \frac{{x^{2}}}{a^{2}} + a^{2} y^{2} = 1$ 위의 점이므로 $\displaystyle q = \frac{{1}}{a} \sqrt{1 - \frac{{p^{2}}}{a^{2}}} = \frac{{\sqrt{a^{2} - p^{2}}}}{a^{2}}$이다.

앞의 논제와 마찬가지로 주어진 점들이 $\displaystyle x$축, $\displaystyle y$축에 대하여 대칭임을 감안하여 주어진 조건을 만족하는 삼각형을 분류하면

$\displaystyle ( 1 , 2 , 3 )$, $\displaystyle ( 1 , 2 , 4 )$, $\displaystyle ( 1 , 2 , 5 )$, $\displaystyle ( 1 , 2 , 6 )$, $\displaystyle ( 1 , 3 , 4 )$, $\displaystyle ( 1 , 3 , 5 )$, $\displaystyle ( 1 , 3 , 6 )$, $\displaystyle ( 2 , 3 , 4 )$, $\displaystyle ( 2 , 3 , 5 )$, $\displaystyle ( 2 , 3 , 6 )$

의 $\displaystyle 10$가지 종류가 있다.

이 삼각형들을 합동인 것으로 분류하여 $\displaystyle a$, $\displaystyle p$, $\displaystyle q$로 표현한 넓이와 이에 대응하는 확률은 아래와 같다.

$\displaystyle ( 1 , 2 , 3 )$: 넓이 $\displaystyle \frac{{1}}{2} \cdot 2 q \cdot ( a - p ) = q ( a - p )$, 확률 $\displaystyle \frac{{1}}{10}$

$\displaystyle ( 1 , 2 , 4 )$, $\displaystyle ( 1 , 2 , 5 )$, $\displaystyle ( 2 , 3 , 5 )$, $\displaystyle ( 2 , 3 , 6 )$: 넓이 $\displaystyle 2 \cdot \frac{{1}}{2} \cdot a \cdot q = a q$, 확률 $\displaystyle \frac{{4}}{10}$

$\displaystyle ( 1 , 2 , 6 )$, $\displaystyle ( 2 , 3 , 4 )$: 넓이 $\displaystyle \frac{{1}}{2} \cdot 2 p \cdot q = p q$, 확률 $\displaystyle \frac{{2}}{10}$

$\displaystyle ( 1 , 3 , 4 )$, $\displaystyle ( 1 , 3 , 6 )$: 넓이 $\displaystyle \frac{{1}}{2} \cdot 2 q \cdot 2 p = 2 p q$, 확률 $\displaystyle \frac{{2}}{10}$

$\displaystyle ( 1 , 3 , 5 )$: 넓이 $\displaystyle \frac{{1}}{2} \cdot 2 q \cdot ( a + p ) = q ( a + p )$, 확률 $\displaystyle \frac{{1}}{10}$

따라서 확률변수 $\displaystyle Y$의 평균은

$\displaystyle \begin{aligned}\frac1{10}\left(q(a-p)+4aq+2pq+2(2pq)+q(a+p)\right)&=\frac1{10}(6aq+6pq)=\frac35(a+p)q\\&=\frac35(a+p)\frac{\sqrt{a^2-p^2}}{a^2}\end{aligned}$

이다.

$\displaystyle g ( p ) = ( a + p ) \sqrt{a^{2} - p^{2}}$이라고 정의하자.

$\displaystyle g^{\prime} ( p ) = \sqrt{a^{2} - p^{2}} + ( a + p ) \frac{{- 2 p}}{2} \cdot \frac{{1}}{\sqrt{a^{2} - p^{2}}}$ $\displaystyle = \frac{{- ( 2 p - a ) ( p + a )}}{\sqrt{a^{2} - p^{2}}}$

$\displaystyle 0 < p < a$이고 $\displaystyle 0 < a < 1$이므로, $\displaystyle g^{\prime} \left( \frac{{a}}{2} \right) = 0$이다.

또한 $\displaystyle 0 < p < \frac{{a}}{2}$일 때 $\displaystyle g^{\prime} ( p ) > 0$이고, $\displaystyle \frac{{a}}{2} < p < a$일 때 $\displaystyle g^{\prime} ( p ) < 0$이므로

$\displaystyle p = \frac{{a}}{2}$에서 $\displaystyle g ( p )$가 최대가 된다.

따라서 $\displaystyle \mathrm{B}_{6} = \left( \frac{{a}}{2} , \frac{{\sqrt{3}}}{2 a} \right)$일 때, 확률변수 $\displaystyle Y$의 평균이 최대가 된다.