경희대 2015학년도 수시 자연계열 (토요일) 1번 해설

I. 다음 제시문을 읽고 논제에 답하시오. (60점)

[가]

두 삼각형에서 대응하는 세 변의 길이와 대응하는 세 각의 크기가 모두 같으면 두 삼각형은 서로 합동이다. 일반적으로 아래 세 가지 조건 중 한 가지가 성립하면 두 삼각형은 서로 합동이다.

1) 대응하는 세 변의 길이가 각각 같을 때

2) 대응하는 두 변의 길이가 각각 같고, 그 끼인각의 크기가 같을 때

3) 대응하는 한 변의 길이가 같고, 그 양 끝각의 크기가 각각 같을 때

[나]

어떤 시행의 표본공간 $\displaystyle S$ 에서 실수 전체의 집합 $\displaystyle R$ 로 가는 함수 $\displaystyle X : S \to R$ 가 주어지면 함수 $\displaystyle X$ 에 대하여 동일한 함숫값 $\displaystyle x$ 를 가지는 표본공간의 원소들로 이루어진 사건 $\displaystyle A$ 가 결정되고, 이 사건이 일어날 확률 $\displaystyle {\mathrm{P}} ( A )$ 를 계산할 수 있다. 이와 같이 표본공간에서 정의된 함수 $\displaystyle X$ 를 확률변수라 하고, $\displaystyle X$ 의 함숫값이 $\displaystyle x$ 가 되는 사건 $\displaystyle A$ 에 대한 확률 $\displaystyle {\mathrm{P}} ( A )$ 를 $\displaystyle \mathrm{P} ( X = x )$ 와 같이 나타낸다.

확률변수가 취하는 값들의 평균은 확률변수가 취하는 값과 그에 대응하는 확률을 곱하여 모두 더한 것으로 이해할 수 있다.

[다]

미분가능한 함수 $\displaystyle f ( x )$ 에 대하여 $\displaystyle f^{\prime} ( a ) = 0$ 이라고 하자. $\displaystyle x$ 의 값이 증가하면서 $\displaystyle x = a$ 의 좌우에서 $\displaystyle f^{\prime} ( x )$ 의 부호가 양에서 음으로 변하면 함수 $\displaystyle f ( x )$ 는 증가상태에서 감소상태로 변하므로 함수 $\displaystyle f ( x )$ 는 $\displaystyle x = a$ 에서 극대이다. 또한 $\displaystyle f^{\prime} ( x )$ 의 부호가 음에서 양으로 변하면 함수 $\displaystyle f ( x )$ 는 감소상태에서 증가상태로 변하므로 함수 $\displaystyle f ( x )$ 는 $\displaystyle x = a$ 에서 극소이다.

이계도함수를 이용하여 함수의 극대와 극소를 판정하는 방법도 있다. $\displaystyle f ( x )$ 의 이계도함수 $\displaystyle f^{\prime \prime} ( x )$ 가 존재하고 $\displaystyle f^{\prime} ( a ) = 0$ 이라고 하자. $\displaystyle f^{\prime \prime} ( a ) < 0$ 이면 $\displaystyle x = a$ 에서 $\displaystyle f^{\prime} ( x )$ 는 감소상태에 있고 $\displaystyle f^{\prime} ( a ) = 0$ 이므로 $\displaystyle f^{\prime} ( x )$ 의 부호는 $\displaystyle x = a$ 의 좌우에서 양에서 음으로 바뀐다. 따라서 함수 $\displaystyle f ( x )$ 는 $\displaystyle x = a$ 에서 극대이다. 또한 $\displaystyle f^{\prime \prime} ( a ) > 0$ 이면 $\displaystyle x = a$ 에서 $\displaystyle f^{\prime} ( x )$ 는 증가상태에 있고 $\displaystyle f^{\prime} ( a ) = 0$ 이므로 $\displaystyle f^{\prime} ( x )$ 의 부호는 $\displaystyle x = a$ 의 좌우에서 음에서 양으로 바뀐다. 따라서 함수 $\displaystyle f ( x )$ 는 $\displaystyle x = a$ 에서 극소이다.

[논제 I]

아래 그림과 같이 원 $\displaystyle x^{2} + y^{2} = 1$ 과 타원 $\displaystyle {\frac{{x^{2}}}{a^{2}} + a^{2} y^{2} = 1}$ $\displaystyle \left( 0 < a < 1 \right)$ 이 세 직선 $\displaystyle y = 0$ , $\displaystyle y = ( \tan \theta ) x$ , $\displaystyle y = - ( \tan \theta ) x$ $\displaystyle \left( 0 < \theta < \frac{{\pi}}{2} \right)$ 와 만나는 교점들을 각각 점 $\displaystyle {\mathrm{A}}_{1}$ , $\displaystyle {\mathrm{A}}_{2}$ , $\displaystyle \mathrm{A} _ {3}$ , $\displaystyle \mathrm{A} _ {4}$ , $\displaystyle \mathrm{A} _ {5}$ , $\displaystyle {\mathrm{A}}_{6}$ 와 점 $\displaystyle {\mathrm{B}}_{1}$ , $\displaystyle {\mathrm{B}}_{2}$ , $\displaystyle \mathrm{B}_{3}$ , $\displaystyle \mathrm{B}_{4}$ , $\displaystyle \mathrm{B}_{5}$ , $\displaystyle \mathrm{B}_{6}$ 라 하자.

원 위의 $\displaystyle 6$ 개의 점 $\displaystyle {\mathrm{A}}_{1}$ , $\displaystyle {\mathrm{A}}_{2}$ , $\displaystyle \mathrm{A} _ {3}$ , $\displaystyle \mathrm{A} _ {4}$ , $\displaystyle \mathrm{A} _ {5}$ , $\displaystyle {\mathrm{A}}_{6}$ 중에서 임의로 $\displaystyle 3$ 개의 점을 선택하여 이 세 점이 꼭짓점이 되는 삼각형을 만들 수 있다. 여기서 세 점이 모두 이웃하는, 즉 세 점이 나란히 선택되는 경우(예를 들어 삼각형 $\displaystyle {\mathrm{A}_{1} \mathrm{A}_{2} \mathrm{A}_{3}}$ , 삼각형 $\displaystyle \mathrm{A}_{1} \mathrm{A}_{2} \mathrm{A}_{6}$ )는 제외한다. 이때 만들어지는 삼각형의 넓이를 확률변수 $\displaystyle X$ 라 하자.

타원 위의 $\displaystyle 6$ 개의 점 $\displaystyle {\mathrm{B}}_{1}$ , $\displaystyle {\mathrm{B}}_{2}$ , $\displaystyle \mathrm{B}_{3}$ , $\displaystyle \mathrm{B}_{4}$ , $\displaystyle \mathrm{B}_{5}$ , $\displaystyle \mathrm{B}_{6}$ 중에서 임의로 선택한 $\displaystyle {3}$ 개의 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이를 확률변수 $\displaystyle Y$ 라 하자. 여기서는 임의로 세 점을 선택할 때 제외되는 경우가 없다.

[논제 I-1] $\displaystyle {\theta = \frac{{\pi}}{3}}$ 일 때, 확률변수 $\displaystyle {\mathrm{X}}$ 의 확률분포를 나타내는 표와 $\displaystyle {\mathrm{X}}$ 의 평균을 구하고 그 방법을 서술하시오. (9점)

[논제 I-2] 임의의 각 $\displaystyle \theta$ $\displaystyle {\left( 0 < \theta < \frac{{\pi}}{2} \right)}$ 에 대하여, 확률변수 $\displaystyle {\mathrm{X}}$ 의 평균을 $\displaystyle \theta$ 의 식으로 나타내고 그 과정을 서술하시오. (15점)

[논제 I-3] [논제 I-2]에서 구한 $\displaystyle {\mathrm{X}}$ 의 평균이 최대가 되는 각 $\displaystyle \theta$ 를 구하고 그 근거를 논술하시오. (15점)

[논제 I-4] 점 $\displaystyle \mathrm{B}_{6}$ 의 좌표를 $\displaystyle {( \mathrm{p} , \mathrm{q} )}$ 라 할 때, 확률변수 $\displaystyle \mathrm{Y}$ 의 평균을 $\displaystyle \mathrm{a}$ , $\displaystyle \mathrm{p}$ , $\displaystyle {\mathrm{q}}$ 의 식으로 나타내고, 이 평균이 최대가 되는 점 $\displaystyle \mathrm{B}_{6}$ 의 좌표를 $\displaystyle \mathrm{a}$ 의 식으로 표현하시오. 그리고 그 근거를 논술하시오. (21점)

경희대 2015학년도 수시 자연계열 (토요일) 1번 · mathesis.kr/archive/khu/2015su/jayeon_sat_1

[논제 I-1]

$\displaystyle \theta = \frac{\pi}{3}$ 이면 원의 중심에 대하여 대칭이므로 $\displaystyle \mathrm{A}_{1}$ 을 포함하는 경우만 생각하면 된다.

표기의 편의를 위하여 삼각형 $\displaystyle \mathrm{A}_{i} \mathrm{A}_{j} \mathrm{A}_{k}$ 는 $\displaystyle ( i , j , k )$ 로 표시하기로 한다.

주어진 조건을 만족하는 삼각형은 $\displaystyle ( 1 , 2 , 4 )$ , $\displaystyle ( 1 , 2 , 5 )$ , $\displaystyle ( 1 , 3 , 4 )$ , $\displaystyle ( 1 , 3 , 5 )$ , $\displaystyle ( 1 , 3 , 6 )$ , $\displaystyle ( 1 , 4 , 5 )$ , $\displaystyle ( 1 , 4 , 6 )$ 의 $\displaystyle 7$ 가지 종류가 있다.

이 중에서 $\displaystyle ( 1 , 2 , 4 )$ , $\displaystyle ( 1 , 2 , 5 )$ , $\displaystyle ( 1 , 3 , 4 )$ , $\displaystyle ( 1 , 3 , 6 )$ , $\displaystyle ( 1 , 4 , 5 )$ , $\displaystyle ( 1 , 4 , 6 )$ 는 합동인 직각삼각형이고,

$\displaystyle ( 1 , 3 , 5 )$ 는 정삼각형이다.

각각의 넓이는 $\displaystyle \frac{{1}}{2} \cdot 1 \cdot {\sqrt{3}} = \frac{{\sqrt{3}}}{2}$ , $\displaystyle \frac{{\sqrt{3}}}{4} \cdot ( \sqrt{3} )^{2} = \frac{{3 \sqrt{3}}}{4}$ 이다.

따라서 확률분포표는 아래와 같다.

$\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c}X&\frac{\sqrt3}{2}&\frac{3\sqrt3}{4}&\text{계}\\\hline\mathrm{P}(X=x)&\frac67&\frac17&1\end{array}$

그러므로 확률변수 $\displaystyle X$ 의 평균은 $\displaystyle \frac{6}{7} \cdot \frac{{\sqrt{3}}}{2} + \frac{1}{7} \cdot \frac{{3 \sqrt{3}}}{4} = \frac{{15 \sqrt{3}}}{28}$ 이다.

[논제 I-2]

$\displaystyle \theta$ 가 임의의 각일 때, 주어진 점들이 $\displaystyle x$ 축, $\displaystyle y$ 축에 대하여 대칭임을 감안하여 주어진 조건을 만족하는 삼각형을 분류하자.

삼각형은 $\displaystyle ( 1 , 2 , 4 )$ , $\displaystyle ( 1 , 2 , 5 )$ , $\displaystyle ( 1 , 3 , 4 )$ , $\displaystyle ( 1 , 3 , 5 )$ , $\displaystyle ( 1 , 3 , 6 )$ , $\displaystyle ( 2 , 3 , 5 )$ , $\displaystyle ( 2 , 3 , 6 )$ 의 $\displaystyle 7$ 가지 종류가 있다.

이 중에서 $\displaystyle ( 1 , 2 , 4 )$ , $\displaystyle ( 1 , 2 , 5 )$ , $\displaystyle ( 2 , 3 , 5 )$ , $\displaystyle ( 2 , 3 , 6 )$ 는 합동인 직각삼각형이고,

$\displaystyle ( 1 , 3 , 4 )$ , $\displaystyle ( 1 , 3 , 6 )$ 도 서로 합동인 직각삼각형이며,

$\displaystyle ( 1 , 3 , 5 )$ 는 이등변삼각형이다.

중심각을 이용하여 각각의 넓이와 그 확률을 구하면 아래와 같다.

$\displaystyle ( 1 , 2 , 4 )$ , $\displaystyle ( 1 , 2 , 5 )$ , $\displaystyle ( 2 , 3 , 5 )$ , $\displaystyle ( 2 , 3 , 6 )$ : 넓이 $\displaystyle \frac{{1}}{2} \cdot 1^{2} \cdot \sin \theta \cdot 2 = \sin \theta$ , 확률 $\displaystyle \frac{{4}}{7}$

$\displaystyle ( 1 , 3 , 4 )$ , $\displaystyle ( 1 , 3 , 6 )$ : 넓이 $\displaystyle \frac{{1}}{2} \cdot 1^{2} \cdot \sin 2 \theta \cdot 2 = \sin 2 \theta$ , 확률 $\displaystyle \frac{{2}}{7}$

$\displaystyle ( 1 , 3 , 5 )$ : 넓이 $\displaystyle 2 \cdot \frac{{1}}{2} \cdot 1^{2} \cdot \sin \theta + \frac{{1}}{2} \cdot 1^{2} \cdot \sin 2 \theta = \sin \theta + \frac{{1}}{2} \sin 2 \theta$ , 확률 $\displaystyle \frac{{1}}{7}$

따라서 확률변수 $\displaystyle X$ 의 평균은 $\displaystyle \frac{{4}}{7} \sin \theta + \frac{{2}}{7} \sin 2 \theta + \frac{{1}}{7} \left( \sin \theta + \frac{{1}}{2} \sin 2 \theta \right) = \frac{{5}}{14} \left( 2 \sin \theta + \sin 2 \theta \right)$ 이다.

[논제 I-3]

확률변수 $\displaystyle X$ 의 평균은

$\displaystyle f ( \theta ) = \frac{{5}}{14} \left( 2 \sin \theta + \sin 2 \theta \right)$ $\displaystyle \left( 0 < \theta < \frac{\pi}{2} \right)$ 이다.

$\displaystyle f^{\prime} ( \theta ) = \frac{{5}}{14} \left( 2 \cos \theta + 2 \cos 2 \theta \right) = \frac{{5}}{7} \left( \cos \theta + \cos 2 \theta \right) = \frac{{5}}{7} \left( \cos \theta + 2 \cos^{2} \theta - 1 \right) = \frac{{5}}{7} \left( 2 \cos \theta - 1 \right) \left( \cos \theta + 1 \right)$

따라서 $\displaystyle 0 < \theta < \frac{{\pi}}{2}$ 의 범위에서 $\displaystyle f^{\prime} ( \theta ) = 0$ 이 되는 경우는 $\displaystyle \cos \theta = \frac{{1}}{2}$ , 즉 $\displaystyle \theta = \frac{{\pi}}{3}$ 이다.

$\displaystyle f^{\prime \prime} ( \theta ) = \frac{{5}}{7} \left( - \sin \theta - 2 \sin 2 \theta \right) < 0$ 이므로 $\displaystyle \theta = \frac{{\pi}}{3}$ 에서 극대이다.

$\displaystyle f ( 0 ) = 0$ , $\displaystyle f \left( \frac{{\pi}}{2} \right) = \frac{{5}}{7} = \frac{{20}}{28}$ , $\displaystyle f \left( \frac{{\pi}}{3} \right) = \frac{{15 \sqrt{3}}}{28}$ 이므로

$\displaystyle \theta = \frac{{\pi}}{3}$ 일 때, 확률변수 $\displaystyle X$ 의 평균이 최대가 된다.

[논제 I-4]

$\displaystyle \mathrm{B}_{6}$ 의 좌표가 $\displaystyle ( p , q )$ 이므로 $\displaystyle 0 < p < a$ , $\displaystyle 0 < q < \frac{{1}}{a}$ 이다.

또한 $\displaystyle ( p , q )$ 는 타원 $\displaystyle \frac{{x^{2}}}{a^{2}} + a^{2} y^{2} = 1$ 위의 점이므로 $\displaystyle q = \frac{{1}}{a} \sqrt{1 - \frac{{p^{2}}}{a^{2}}} = \frac{{\sqrt{a^{2} - p^{2}}}}{a^{2}}$ 이다.

앞의 논제와 마찬가지로 주어진 점들이 $\displaystyle x$ 축, $\displaystyle y$ 축에 대하여 대칭임을 감안하여 주어진 조건을 만족하는 삼각형을 분류하면

$\displaystyle ( 1 , 2 , 3 )$ , $\displaystyle ( 1 , 2 , 4 )$ , $\displaystyle ( 1 , 2 , 5 )$ , $\displaystyle ( 1 , 2 , 6 )$ , $\displaystyle ( 1 , 3 , 4 )$ , $\displaystyle ( 1 , 3 , 5 )$ , $\displaystyle ( 1 , 3 , 6 )$ , $\displaystyle ( 2 , 3 , 4 )$ , $\displaystyle ( 2 , 3 , 5 )$ , $\displaystyle ( 2 , 3 , 6 )$

의 $\displaystyle 10$ 가지 종류가 있다.

이 삼각형들을 합동인 것으로 분류하여 $\displaystyle a$ , $\displaystyle p$ , $\displaystyle q$ 로 표현한 넓이와 이에 대응하는 확률은 아래와 같다.

$\displaystyle ( 1 , 2 , 3 )$ : 넓이 $\displaystyle \frac{{1}}{2} \cdot 2 q \cdot ( a - p ) = q ( a - p )$ , 확률 $\displaystyle \frac{{1}}{10}$

$\displaystyle ( 1 , 2 , 4 )$ , $\displaystyle ( 1 , 2 , 5 )$ , $\displaystyle ( 2 , 3 , 5 )$ , $\displaystyle ( 2 , 3 , 6 )$ : 넓이 $\displaystyle 2 \cdot \frac{{1}}{2} \cdot a \cdot q = a q$ , 확률 $\displaystyle \frac{{4}}{10}$

$\displaystyle ( 1 , 2 , 6 )$ , $\displaystyle ( 2 , 3 , 4 )$ : 넓이 $\displaystyle \frac{{1}}{2} \cdot 2 p \cdot q = p q$ , 확률 $\displaystyle \frac{{2}}{10}$

$\displaystyle ( 1 , 3 , 4 )$ , $\displaystyle ( 1 , 3 , 6 )$ : 넓이 $\displaystyle \frac{{1}}{2} \cdot 2 q \cdot 2 p = 2 p q$ , 확률 $\displaystyle \frac{{2}}{10}$

$\displaystyle ( 1 , 3 , 5 )$ : 넓이 $\displaystyle \frac{{1}}{2} \cdot 2 q \cdot ( a + p ) = q ( a + p )$ , 확률 $\displaystyle \frac{{1}}{10}$

따라서 확률변수 $\displaystyle Y$ 의 평균은

$\displaystyle \begin{aligned}\frac1{10}\left(q(a-p)+4aq+2pq+2(2pq)+q(a+p)\right)&=\frac1{10}(6aq+6pq)=\frac35(a+p)q\\&=\frac35(a+p)\frac{\sqrt{a^2-p^2}}{a^2}\end{aligned}$

이다.

$\displaystyle g ( p ) = ( a + p ) \sqrt{a^{2} - p^{2}}$ 이라고 정의하자.

$\displaystyle g^{\prime} ( p ) = \sqrt{a^{2} - p^{2}} + ( a + p ) \frac{{- 2 p}}{2} \cdot \frac{{1}}{\sqrt{a^{2} - p^{2}}}$ $\displaystyle = \frac{{- ( 2 p - a ) ( p + a )}}{\sqrt{a^{2} - p^{2}}}$

$\displaystyle 0 < p < a$ 이고 $\displaystyle 0 < a < 1$ 이므로, $\displaystyle g^{\prime} \left( \frac{{a}}{2} \right) = 0$ 이다.

또한 $\displaystyle 0 < p < \frac{{a}}{2}$ 일 때 $\displaystyle g^{\prime} ( p ) > 0$ 이고, $\displaystyle \frac{{a}}{2} < p < a$ 일 때 $\displaystyle g^{\prime} ( p ) < 0$ 이므로

$\displaystyle p = \frac{{a}}{2}$ 에서 $\displaystyle g ( p )$ 가 최대가 된다.

따라서 $\displaystyle \mathrm{B}_{6} = \left( \frac{{a}}{2} , \frac{{\sqrt{3}}}{2 a} \right)$ 일 때, 확률변수 $\displaystyle Y$ 의 평균이 최대가 된다.

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개

아직 등록된 질문이 없습니다. 질문 작성은 멤버십 회원만 가능합니다.

자연계열 (토요일) 1번

문제

첨삭 사례

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개