자연계열 (일요일) 1번

[논제 I-1]

$\displaystyle n$번째 단계에서 물의 양은 다음 점화식으로 표현될 수 있다.

$\displaystyle V_{1} = 1$, $\displaystyle V_{n + 1} = V_{n} - \frac{1}{4} V_{n}^{2} + 1 ( n \ge 1 )$

명제 $\displaystyle 0 < V_{n} < 2$가 모든 $\displaystyle n$에 대하여 성립함을 보이자.

$\displaystyle n = 1$일 때, $\displaystyle V_{1} = 1$이므로 만족한다.

$\displaystyle n = k$일 때, $\displaystyle 0 < V_{k} < 2$가 성립한다고 가정하면,

$\displaystyle V_{k + 1} = V_{k} - \frac{1}{4} V_{k}^{2} + 1$에서 $\displaystyle V_{k + 1} = - \frac{1}{4} ( V_{k} - 2 )^{2} + 2$이고

$\displaystyle 0 < V_{k} < 2$이므로 $\displaystyle 1 < - \frac{{1}}{4} ( V_{k} - 2 )^{2} + 2 < 2$이다.

그러므로 $\displaystyle 0 < V_{k + 1} < 2$이고 $\displaystyle n = k + 1$일 때 명제가 성립한다.

따라서 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle 0 < V_{n} < 2$이 성립한다.

[논제 I-2]

임의의 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle V_{n + 1} > V_{n}$임을 보이자.

$\displaystyle V_{n + 1} - V_{n} = - \frac{1}{4} V_{n}^{2} + 1$이고 [논제 I-1]의 결과로부터

모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle 0 < V_{n} < 2$이다.

이를 이용하면 모든 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle - \frac{1}{4} V_{n}^{2} + 1 > 0$이므로 $\displaystyle V_{n + 1} - V_{n} > 0$이다.

따라서 용기에 담긴 물의 양 $\displaystyle V_{n}$은 $\displaystyle n$이 커짐에 따라 증가한다.

[논제 I-3]

점화식 $\displaystyle V_{n + 1} = V_{n} - \frac{1}{4} V_{n}^{2} + 1$을 $\displaystyle 2 - V_{n + 1} = \frac{{1}}{4} ( 2 - V_{n} )^{2}$로 변형한다.

여기서 $\displaystyle a_{n} = 2 - V_{n}$이라고 두면 $\displaystyle a_{n + 1} = \frac{1}{4} a_{n}^{2}$이다.

[논제I-1]의 결과로부터 모든 $\displaystyle n \ge 1$에 관하여 $\displaystyle a_{n} > 0$이다.

따라서 등식 $\displaystyle a_{n + 1} = \frac{1}{4} a_{n}^{2}$의 양변에 $\displaystyle \log_{2}$를 취하면, $\displaystyle \log_{2} a_{n+1} = - 2 + 2 \log_{2} a_{n}$이다.

이때, $\displaystyle b_{n} = \log_{2} a_{n}$으로 두면 $\displaystyle b_{n + 1} - 2 = 2 ( b_{n} - 2 )$이므로

수열 $\displaystyle \{b_n-2\}$는 공비가 2이고 초항이 $\displaystyle b_{1} - 2 = - 2$인 등비수열이다.

즉, $\displaystyle b_{n} - 2 = ( - 2 ) \cdot 2^{n - 1} = - 2^{n}$이고 $\displaystyle a_{n} = 2^{b_n} = 2^{2 - 2^{n}}$이다.

따라서 $\displaystyle V_{n} = 2 - a_{n} = 2 - 2^{2 - 2^{n}}$이고 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} {V_{n}} = 2$이다.

[논제 I-4]

원기둥의 밑면의 반지름을 $\displaystyle r$, 원기둥의 높이를 $\displaystyle h$라 하자.

물이 넘치지 않게 최소의 겉넓이를 가지도록 용기를 만들려면,

아래 두 조건을 만족하는

$\displaystyle \theta$, $\displaystyle h$, $\displaystyle r$ 중 용기의 겉넓이가 최소가 되는 값을 찾으면 된다.

조건 1. $\displaystyle \tan \theta = 2 \frac{r}{h}$

조건 2. $\displaystyle \frac{1}{2} \times \text{원기둥의 부피} = 2$

$\displaystyle \frac{1}{2} \pi r^{2} h = 2$, $\displaystyle \tan \theta = 2 \frac{r}{h}$, 그리고 용기의 겉넓이는 $\displaystyle f = \pi r^{2} + \pi r h$ 이다.

$\displaystyle \frac{1}{2} \pi r^{2} h = 2$를 이용하면, $\displaystyle h = \frac{4}{\pi r^{2}}$이므로 $\displaystyle f = \pi r^{2} + \frac{4}{r}$이다.

$\displaystyle f$는 $\displaystyle r$에 관한 함수이고 $\displaystyle r > 0$에서 미분가능하므로, $\displaystyle f^{\prime} ( r ) = \frac{{2 \pi}}{r^{2}} \left( r^{3} - \frac{2}{\pi} \right)$ 이다.

미분의 결과로서 $\displaystyle r > 0$인 구간에서 $\displaystyle f ( r )$은 $\displaystyle r = \sqrt[3]{\frac{2}{\pi}}$에서 최댓값을 가진다.Correction. 여기서 ‘최댓값’은 ‘최솟값’의 오기이다. 도함수의 부호가 음수에서 양수로 바뀌므로 이 반지름에서 겉넓이가 최소가 된다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

이때, $\displaystyle h = \frac{{4}}{\pi r^{2}} = 2 \sqrt[3]{\frac{2}{\pi}}$이고, $\displaystyle \tan \theta = 2 \frac{r}{h} = 1$이다.

용기를 물로 가득 채웠을 때 용기의 밑면은 물의 표면의 정사영이 되므로,

두 넓이는 $\displaystyle S_{0} = S \cos \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = S \sin \theta$를 만족한다.

따라서 $\displaystyle \frac{S}{S_{0}} = \frac{1}{\sin \theta} = \sqrt{2}$이고 두 넓이의 비와 가장 가까운 자연수는 1이다.