자연계열 1번

$\displaystyle a\ast b=\frac{ab}{(a+b)}=\left(\frac a{a+b}\right)b=a\left(\frac b{a+b}\right)$이다.

위에서 $\displaystyle \frac{{a}}{a + b} < 1$이고 $\displaystyle \frac{{b}}{a + b} < 1$이므로, $\displaystyle a \ast b \leq a$이고 $\displaystyle a \ast b \leq b$이다.

따라서 $\displaystyle a\ast b\leq\min\{a,b\}$이다.

역원의 정의에 따라서, $\displaystyle ( a \ast b ) ( a^{-1} + b^{-1} ) = 1$ 임을 보이자.

$\displaystyle \begin{aligned}(a\ast b)(a^{-1}+b^{-1})&=(ab(a+b)^{-1})(a^{-1}+b^{-1})\\&=(ab(a+b)^{-1})((a+b)(ab)^{-1})\\&=(ab(ab)^{-1})((a+b)^{-1}(a+b))=1\end{aligned}$

$\displaystyle n = 2$ 일 때, [논제I-1]의 결과로부터 (명제)가 성립한다.

$\displaystyle n = k$ 일 때, (명제)가 성립한다고 가정하자.

그리고 $\displaystyle b_{k} = ( ( \cdots ( ( a_{1} \ast a_{2} ) \ast a_{3} ) \ast \cdots ) \ast a_{k - 1} ) \ast a_{k}$이므로,

$\displaystyle b_{k + 1} = b_{k} \ast a_{k + 1} = ( b_{k}^{-1} + a_{k + 1}^{-1} )^{-1}$이다.

(명제)가 $\displaystyle n = k$ 일 때 성립하므로, $\displaystyle b_{k}^{-1} = a_{1}^{-1} + a_{2}^{-1} + \cdots + a_{k - 1}^{-1} + a_{k}^{-1}$이고

이를 이용하면 $\displaystyle b_{k+1} = ( a_{1}^{-1} + a_{2}^{-1} + \cdots + a_{k}^{-1} + a_{k + 1}^{-1} )^{-1}$이고, $\displaystyle n = k + 1$ 일 때 (명제)가 성립한다.

[논제I-2]의 결과를 이용하면, $\displaystyle a_{n} = ( x + x^{2} + \cdots + x^{n - 1} + x^{n} )^{-1}$이다.

$\displaystyle x = 1$ 일 때, $\displaystyle a_{n} = \frac{1}{n}$이다.

$\displaystyle x \neq 1$ 일 때, $\displaystyle x + x^{2} + \cdots + x^{n - 1} + x^{n} = \frac{{x ( 1 - x^{n} )}}{1 - x}$이므로, $\displaystyle a_{n} = \frac{{1 - x}}{x ( 1 - x^{n} )}$이다.

수열$\displaystyle \{a_n\}$의 극한값을 계산하면

$\displaystyle x = 1$ 일 때, $\displaystyle f ( x ) = \lim_{n \to \infty} {a_{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$

$\displaystyle 0 < x < 1$ 일 때, $\displaystyle f ( x ) = \lim_{n \to \infty} {a_{n}} = \frac{{1 - x}}{x}$

$\displaystyle x > 1$ 일 때, $\displaystyle f ( x ) = \lim_{n \to \infty} {a_{n}} = 0$ 이다.

함수 $\displaystyle f ( x )$는 $\displaystyle 0 < x < 1$ 구간에서 분모가 0이 아닌 유리함수이므로 미분가능하고, $\displaystyle x > 1$에서 상수함수이므로 미분가능하다.

$\displaystyle \lim_{h \to - 0} {\frac{{f ( 1 + h ) - f ( 1 )}}{h}} = \lim_{h \to - 0} {} \frac{{\frac{{1 - ( 1 + h )}}{1 + h} - 0}}{h} = \lim_{h \to - 0} {} \frac{{- 1}}{1 + h} = - 1$

$\displaystyle \lim_{h \to + 0} {\frac{{f ( 1 + h ) - f ( 1 )}}{h}} = \lim_{h \to + 0} {\frac{{0 - 0}}{h}} = 0$

이고, 위에서 좌 극한값과 우 극한값이 다르기 때문에 극한값은 존재하지 않는다. 따라서 $\displaystyle f ( x )$는 $\displaystyle x = 1$에서 미분가능하지 않다.

[논제I-1]의 결과를 이용하면,

$\displaystyle f ( x ) \le \sin x$, $\displaystyle ( 0 \le x \le \frac{\pi}{4} )$,$\displaystyle f ( x ) \le \cos x$, $\displaystyle ( \frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{2} )$

이다.

그리고 $\displaystyle 0 \le x \le \frac{\pi}{4}$에서 $\displaystyle \sin x \le \cos x$이고, $\displaystyle \frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{2}$에서 $\displaystyle \cos x \le \sin x$이므로,

$\displaystyle \sin x + \cos x \le 2 \cos x$ ($\displaystyle 0 \le x \le \frac{\pi}{4}$) 이고 $\displaystyle \sin x + \cos x \le 2 \sin x$ ($\displaystyle \frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{2}$)

이다. 이를 이용하면, 각 구간에서 $\displaystyle \frac12\le\frac{\cos x}{\sin x+\cos x}$, $\displaystyle \frac12\le\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}$이므로

$\displaystyle 0 \le x \le \frac{\pi}{4}$에서 $\displaystyle \frac{{1}}{2} {\ \sin} x \le f ( x )$ 이고, $\displaystyle \frac{\pi}{4} \le x \leq \frac{\pi}{2}$에서 $\displaystyle \frac{{1}}{2} {\ \cos} x \leq f ( x )$이다.

$\displaystyle \int_{0}^{\frac{{\pi}}{2}} {f ( x ) d x} = \int_{0}^{\frac{{\pi}}{4}} {f ( x ) d x} + \int_{\frac{{\pi}}{4}}^{\frac{{\pi}}{2}} {f ( x ) d x}$ $\displaystyle \leq \int_{0}^{\frac{{\pi}}{4}} {\sin x d x} + \int_{\frac{{\pi}}{4}}^{\frac{{\pi}}{2}} {\cos x d x}$ $\displaystyle = 2 - \sqrt{2}$이고,

$\displaystyle \int_{0}^{\frac{{\pi}}{2}} {f ( x ) d x} = \int_{0}^{\frac{{\pi}}{4}} {f ( x ) d x} + \int_{\frac{{\pi}}{4}}^{\frac{{\pi}}{2}} {f ( x ) d x}$ $\displaystyle \geq \int_{0}^{\frac{{\pi}}{4}} {\frac{{1}}{2} {\ \sin} x d x} + \int_{\frac{{\pi}}{4}}^{\frac{{\pi}}{2}} {\frac{{1}}{2} {\ \cos} x d x} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$ 이므로, 부등식이 성립한다.