의학계 1번

[논제 I-1]

구간 $\displaystyle 0 \le t < \frac{2}{3}$에서 각 반구의 부피가 $\displaystyle \frac{{2}}{3} \pi r_{1}^{3}$, $\displaystyle \frac{{2}}{3} \pi r_{2}^{3}$이므로, 입체의 부피 $\displaystyle V_{0}$는 다음과 같다.

$\displaystyle V_{0} = \frac{{2}}{3} \pi ( r_{1}^{3} + r_{2}^{3} ) = \frac{{2}}{3} \pi ( ( 1 - t )^{3} + ( 2 - 3 t )^{3} )$

그러나 구간 $\displaystyle \frac{{2}}{3} \leq t \leq 1$에서는 아래 반구가 없어지므로, 입체의 부피는 $\displaystyle V_{0} = \frac{{2}}{3} \pi r_{1}^{3} = \frac{{2}}{3} \pi ( 1 - t )^{3}$ 이다. 이를 종합하면, 입체의 부피 $\displaystyle V_{0}$는 아래와 같다.

$\displaystyle V_{0} = {\begin{cases}\frac{{2}}{3} \pi ( r_{1}^{3} + r_{2}^{3} ) = \frac{{2}}{3} \pi ( ( 1 - t )^{3} + ( 2 - 3 t )^{3} ) & \left( 0 \leq t < \frac{{2}}{3} \right) \\ \frac{{2}}{3} \pi r_{1}^{3} = \frac{{2}}{3} \pi ( 1 - t )^{3} & \left( \frac{{2}}{3} \le t \leq 1 \right)\end{cases}}$

[논제 I-2]

적어도 하나의 반지름이 $\displaystyle 0$보다 크거나 같아야 하므로, $\displaystyle 0 \le t \le 1$인 $\displaystyle t$에 대해서만 고려한다. 다음으로, 두 반구의 위치관계를 이해하기 위해서 오른쪽 그림에서처럼 $\displaystyle r_{2}^{2} = r_{1}^{2} + y^{2}$이 되는 시각 $\displaystyle t$를 구한다.

$\displaystyle r_{2}^{2} = r_{1}^{2} + y^{2} \Rightarrow 8 t^{2} - 6 t + 1 = 0 \Rightarrow ( 4 t - 1 ) ( 2 t - 1 ) = 0 \Rightarrow t = \frac{{1}}{4} \text{또는} t = \frac{{1}}{2}$

두 반구의 형태는, $\displaystyle 0 \le t \le \frac{1}{4}$인 경우 (그림 1), $\displaystyle \frac{{1}}{4} < t < \frac{{1}}{2}$인 경우 (그림 2), $\displaystyle \frac{1}{2} \le t \le 1$인 경우 (그림 3) 등의 3가지로 표현될 수 있다.

(i) $\displaystyle 0 \le t \le \frac{1}{4}$인 경우, (그림 1)에서처럼 $\displaystyle x = r_{1} = 1 - t$이고 $\displaystyle y = r_{2} - d = 2 - 4 t$이다.

(ii) $\displaystyle \frac{1}{4} < t < \frac{1}{2}$인 경우, (그림 2)에서와 같이 변수 $\displaystyle z$를 설정하면 $\displaystyle y = r_{2} - d + z$이고 $\displaystyle x = r_{1} - z$가 된다. 피타고라스 정리를 이용하여 $\displaystyle z$에 관한 방정식 $\displaystyle r_{1}^{2} - z^{2} = r_{2}^{2} - ( r_{2} - d + z )^{2}$을 만들면 다음과 같이 $\displaystyle z$를 구할 수 있다.

$\displaystyle z = \frac{{2 r_{2} d - r_{1}^{2} - d^{2}}}{2 ( r_{2} - d )} = t - \frac{1}{4}$

따라서 $\displaystyle x = r_{1} - z = \frac{5}{4} - 2 t$이고, $\displaystyle y = r_{2} - d + z = 2 - 4 t + t - \frac{1}{4} = \frac{7}{4} - 3 t$이다.

(iii)$\displaystyle \frac{{1}}{2} \leq t \leq 1$인 경우, (그림 3)에서 보는 바와 같이, 눈 반구가 얼음 반구에 완전히 포함되기 때문에 눈 반구가 모두 녹아 없어진다. 따라서 $\displaystyle x$와 $\displaystyle y$는 정의하지 않는다.

(i), (ii), (iii)을 종합하면

$\displaystyle x = {\begin{cases}1 - t & \left( 0 \leq t \leq \frac{{1}}{4} \right) \\ \frac{{5}}{4} - 2 t & \left( \frac{{1}}{4} < t < \frac{{1}}{2} \right)\end{cases}}$ , $\displaystyle y = {\begin{cases}2 - 4 t & \left( 0 \leq t \leq \frac{{1}}{4} \right) \\ \frac{{7}}{4} - 3 t & \left( \frac{{1}}{4} < t < \frac{{1}}{2} \right)\end{cases}}$

이고, 눈으로 이루어진 부분이 완전히 녹아 없어질 때의 시각은 $\displaystyle t_{0} = \frac{{1}}{2}$이고, 이때 $\displaystyle x$와 $\displaystyle y$의 좌극한은 $\displaystyle \lim_{t \to t_{0} - 0} x = \lim_{t \to t_{0} - 0} y = \frac{{1}}{4}$이다.

[논제 I-3]

[논제 I-2]의 해설처럼 $\displaystyle t = 1$이후에는 두 반구 모두 녹아 없어지므로 $\displaystyle t_{1} = 1$이다. 편의상, $\displaystyle 0 \leq t < \frac{{1}}{2}$인 경우에 얼음과 눈으로 구분되어 보이는 경계를 반구의 밑면과 평행한 단면으로 자르면 각각 높이가 $\displaystyle x$, $\displaystyle y$인 두 개의 입체를 생각할 수 있다. 이때 높이를 $\displaystyle x$로 갖는 입체의 부피를 $\displaystyle V_{1}$, 높이를 $\displaystyle y$로 갖는 입체의 부피를 $\displaystyle V_{2}$라 하자.

(i) $\displaystyle 0 \le t \le \frac{1}{4}$인 경우, $\displaystyle V_{1}$은 반지름이 $\displaystyle r_{1}$인 반구의 부피이므로 $\displaystyle V_{1} = \frac{2}{3} \pi r_{1}^{3}$이고, $\displaystyle V_{2}$는 높이가 $\displaystyle \sqrt{r_{2}^{2} - u^{2}}$, $\displaystyle ( 0 \leq u \leq y )$인 평면도형의 $\displaystyle u$축에 대한 회전체의 부피이므로 $\displaystyle V_{2} = \pi \left( r_{2}^{2} y - \frac{1}{3} y^{3} \right)$이다. 따라서 이때 구하고자 하는 부피 $\displaystyle V$는 다음과 같다.

$\displaystyle V = V_{1} + V_{2} = \pi \left( \frac{{2}}{3} r_{1}^{3} + r_{2}^{2} y - \frac{{1}}{3} y^{3} \right)$

(ii)$\displaystyle \frac{1}{4} < t < \frac{1}{2}$인 경우, $\displaystyle V_{1}$은 높이가 $\displaystyle \sqrt{r_{1}^{2} - u^{2}}$, $\displaystyle ( r_{1} - x \leq u \leq r_{1} )$인 평면도형의 $\displaystyle u$축에 대한 회전체의 부피이므로 $\displaystyle V_{1} = \frac{2}{3} \pi r_{1}^{3} - \pi \left( r_{1}^{2} ( r_{1} - x ) - \frac{1}{3} ( r_{1} - x )^{3} \right)$이고, $\displaystyle V_{2}$는 위에서처럼 $\displaystyle V_{2} = \pi \left( r_{2}^{2} y - \frac{1}{3} y^{3} \right)$으로 표현된다. 따라서 구하고자 하는 부피 $\displaystyle V$는 다음과 같다.

$\displaystyle V = V_{1} + V_{2} = \pi \left( \frac{2}{3} r_{1}^{3} - r_{1}^{2} ( r_{1} - x ) + \frac{1}{3} ( r_{1} - x )^{3} + ( r_{2}^{2} y - \frac{1}{3} y^{3} ) \right) = \pi \left( r_{1} x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} + r_{2}^{2} y - \frac{1}{3} y^{3} \right)$

(iii) $\displaystyle \frac{1}{2} \le t \le 1$인 경우, 반지름이 $\displaystyle r_{1}$인 얼음 반구만 고려하면 되므로 $\displaystyle V = \frac{{2}}{3} \pi r_{1}^{3}$이 된다.

(i), (ii), (iii)을 종합하면 입체의 부피 $\displaystyle V$는 다음과 같다.

$\displaystyle V = {\begin{cases}\pi \left( \frac{{2}}{3} r_{1}^{3} + r_{2}^{2} y - \frac{{1}}{3} y^{3} \right) & \left( 0 \leq t \leq \frac{{1}}{4} \right) \\ \pi \left( r_{1} x^{2} - \frac{{1}}{3} x^{3} + r_{2}^{2} y - \frac{{1}}{3} y^{3} \right) & \left( \frac{{1}}{4} < t < \frac{{1}}{2} \right) \\ \frac{{2}}{3} \pi r_{1}^{3} & \left( \frac{{1}}{2} \leq t \leq 1 \right)\end{cases}}$

[논제 I-4]

$\displaystyle V_{d} = V_{0} - V$라 하자.

(i) $\displaystyle 0 \le t \le \frac{1}{4}$인 경우, $\displaystyle V_{d} = \pi ( \frac{2}{3} r_{2}^{3} - r_{2}^{2} y + \frac{1}{3} y^{3} )$이고 $\displaystyle \frac{dr_{2}}{dt} = - 3$, $\displaystyle \frac{dy}{dt} = - 4$이므로, 합성함수의 미분법을 사용하여 $\displaystyle V_{d}$를 $\displaystyle t$로 미분하면

$\displaystyle \begin{aligned}\frac{dV_{d}}{dt} & = \pi ( 2 r_{2}^{2} ( - 3 ) - 2 r_{2} ( - 3 ) y - r_{2}^{2} ( - 4 ) + y^{2} ( - 4 ) ) \\ & = - 2 \pi ( r_{2} - y ) ( r_{2} - 2 y ) = 2 \pi t ( 2 - 5 t ) \ge 0\end{aligned}$

이 되어 $\displaystyle V_{d}$는 항상 증가한다.

(ii)$\displaystyle \frac{1}{4} < t < \frac{1}{2}$인 경우, $\displaystyle V_{d} = \pi \left( \frac{2}{3} r_{1}^{3} + \frac{2}{3} r_{2}^{3} - r_{1} x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} - r_{2}^{2} y + \frac{1}{3} y^{3} \right)$이 되고, $\displaystyle \frac{dr_{1}}{dt} = - 1$, $\displaystyle \frac{dr_{2}}{dt} = - 3$, $\displaystyle \frac{dx}{dt} = - 2$, $\displaystyle \frac{dy}{dt} = - 3$이므로, 합성함수의 미분법을 사용하여 $\displaystyle V_{d}$를 $\displaystyle t$로 미분하면 다음과 같다.

$\displaystyle \begin{aligned}\frac{dV_{d}}{dt} & = \pi ( 2 r_{1}^{2} ( - 1 ) + 2 r_{2}^{2} ( - 3 ) - ( - 1 ) x^{2} - 2 r_{1} x ( - 2 ) + x^{2} ( - 2 ) - 2 r_{2} ( - 3 ) y - r_{2}^{2} ( - 3 ) + y^{2} ( - 3 ) ) \\ & = \pi \left( 2 t^{2} - 4 t + \frac{5}{4} \right)\end{aligned}$

따라서 $\displaystyle \frac{dV_{d}}{dt}$는 이 범위에서 한 개의 실근 $\displaystyle t_{*} = 1 - \sqrt{\frac{3}{8}} = 1 - \frac{\sqrt{6}}{4}$을 갖는다. $\displaystyle \frac{1}{4} < t < t_{*}$일 때는

$\displaystyle \frac{dV_{d}}{dt} > 0$이고, $\displaystyle t_{*} < t < \frac{1}{2}$일 때는 $\displaystyle \frac{dV_{d}}{dt} < 0$이므로, 이 구간에서는 $\displaystyle t = t_{*}$에서 최댓값을 갖게 된다.

(iii) $\displaystyle \frac{1}{2} \le t \le 1$일 경우에는 상황 1에서의 아래 반구가 있을 때와 없을 때로 나누어 생각한다. $\displaystyle \frac{1}{2} \le t \le \frac{2}{3}$인 경우에 $\displaystyle V_{d} = \frac{2}{3} \pi r_{2}^{3}$이고, $\displaystyle r_{2}$가 시간 $\displaystyle t$에 따라서 감소하므로, $\displaystyle V_{d}$는 항상 감소한다. 그리고 $\displaystyle \frac{2}{3} \le t \le 1$인 경우에는 $\displaystyle V_{d} = 0$이다.

$\displaystyle V_{d}$는 연속함수이므로, (i), (ii), (iii)을 종합하면 $\displaystyle t = t_{*} = 1 - \frac{\sqrt{6}}{4}$에서 $\displaystyle V_{d}$는 최댓값을 갖는다.