자연계열 1번

[논제 Ⅰ](1) 정적분을 활용하여 넓이 $\displaystyle A$와 $\displaystyle B$를 다음과 같이 구할 수 있다.$\displaystyle A=\frac{a^3}{12}(a+2b),\quad B=\frac{b^3}{12}(2a+b)$

(2) 넓이 $\displaystyle A$와 $\displaystyle B$가 $\displaystyle B=2A$를 만족하면 다음을 얻는다.$\displaystyle b^3(2a+b)=2a^3(a+2b)$이를 다음과 같이 정리할 수 있다.$\displaystyle \left(\frac ba\right)^4+2\left(\frac ba\right)^3-4\left(\frac ba\right)-2=0$또는$\displaystyle 2\left(\frac ab\right)^4+4\left(\frac ab\right)^3-2\left(\frac ab\right)-1=0$함수 $\displaystyle g(x)=x^4+2x^3-4x-2$를 생각하자. 그러면 $\displaystyle g(1)=-3<0$이고 $\displaystyle g(2)=22>0$이므로 사잇값 정리에 의해 $\displaystyle g(c)=0$인 $\displaystyle c$가 열린구간 $\displaystyle (1,2)$에 적어도 하나 존재한다. 따라서,$\displaystyle 1<\frac ba<2$를 만족하는 $\displaystyle a$와 $\displaystyle b$가 존재한다. 다음으로,$\displaystyle \frac ba\ge2$인 $\displaystyle a$와 $\displaystyle b$가 존재하는지 생각해 보자. 함수 $\displaystyle g(x)=x^4+2x^3-4x-2$의 도함수 $\displaystyle g^{\prime}(x)=4x^3+6x^2-4$를 생각하자. 그러면, $\displaystyle g(2)=22>0$이고, $\displaystyle x\ge2$에 대해서$\displaystyle g^{\prime}(x)=4x^3+6x^2-4\ge32+24-4=52>0$이므로, 함수 $\displaystyle g(x)=x^4+2x^3-4x-2$는 $\displaystyle x\ge2$에서 $\displaystyle x$축과 만나지 않는다. 따라서, 방정식 $\displaystyle g(x)=0$은 $\displaystyle x\ge2$에서 근을 가지지 않고, $\displaystyle \frac ba\ge2$를 만족하는 $\displaystyle a$와 $\displaystyle b$는 존재하지 않는다. 다음으로,$\displaystyle \frac ab\ge1$인 $\displaystyle a$와 $\displaystyle b$가 존재하는지 생각해 보자. 함수 $\displaystyle h(x)=2x^4+4x^3-2x-1$을 생각하고, 그것의 도함수 $\displaystyle h^{\prime}(x)=8x^3+12x^2-2$를 생각하자. 그러면 $\displaystyle h(1)=3>0$이고, $\displaystyle x\ge1$에 대해서$\displaystyle h^{\prime}(x)=8x^3+12x^2-2\ge8+12-2=18>0$이므로, 함수 $\displaystyle h(x)=2x^4+4x^3-2x-1$는 $\displaystyle x\ge1$에서 $\displaystyle x$축과 만나지 않는다. 따라서 $\displaystyle h(x)=0$은 $\displaystyle x\ge1$에서 근을 가지지 않고, $\displaystyle \frac ab\ge1$을 만족하는 $\displaystyle a$와 $\displaystyle b$는 존재하지 않는다. 결국, 넓이 $\displaystyle A$와 $\displaystyle B$가 $\displaystyle B=2A$를 만족하면 $\displaystyle a<b<2a$이다.