수리논술, 이게 다다.

자연계열 I 1번

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경북대 2017학년도 수시 자연계열 I 1번 · mathesis.kr/archive/knu/2017su/jayeon1_1

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문제

[1] 다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

(가)이산확률변수 X\displaystyle X가 xi\displaystyle x_i의 값을 가질 확률을 P(X=xi)=pi\displaystyle \mathrm{P}(X=x_i)=p_i (i=1,2,⋯ ,n\displaystyle i=1,2,\cdots,n)라고 할 때, x1,x2,⋯ ,xn\displaystyle x_1,x_2,\cdots,x_n과 확률 p1,p2,⋯ ,pn\displaystyle p_1,p_2,\cdots,p_n 사이의 대응 관계를 확률변수 X\displaystyle X의 확률분포라고 한다.(1) 이산확률변수 X\displaystyle X의 확률질량함수 P(X=xi)=pi\displaystyle \mathrm{P}(X=x_i)=p_i (i=1,2,⋯ ,n\displaystyle i=1,2,\cdots,n)는 다음의 성질을 만족한다.① 0≤pi≤1\displaystyle 0\le p_i\le1② ∑i=1npi=p1+p2+⋯+pn=1\displaystyle \sum_{i=1}^n p_i=p_1+p_2+\cdots+p_n=1③ P(xi≤X≤xj)=∑k=ijP(X=xk)=∑k=ijpk\displaystyle \mathrm{P}(x_i\le X\le x_j)=\sum_{k=i}^j\mathrm{P}(X=x_k)=\sum_{k=i}^j p_k(단, i,j=1,2,⋯ ,n, i≤j\displaystyle i,j=1,2,\cdots,n,\ i\le j)(2) 이산확률변수 X\displaystyle X의 기댓값(평균) E(X)\displaystyle \mathrm{E}(X)와 분산 V(X)\displaystyle \mathrm{V}(X)는E(X)=m=∑i=1nxipi\displaystyle \mathrm{E}(X)=m=\sum_{i=1}^n x_ip_iV(X)=E((X−m)2)=∑i=1n(xi−m)2pi=E(X2)−m2=∑i=1nxi2pi−(∑i=1nxipi)2\displaystyle \begin{aligned}\mathrm{V}(X)&=\mathrm{E}((X-m)^2)=\sum_{i=1}^n(x_i-m)^2p_i\\&=\mathrm{E}(X^2)-m^2=\sum_{i=1}^n x_i^2p_i-\left(\sum_{i=1}^n x_ip_i\right)^2\end{aligned}이다.

(나)모집단의 확률분포가 평균이 m\displaystyle m이고 표준편차가 σ\displaystyle \sigma인 정규분포를 따른다고 가정할 때, 임의추출한 표본의 크기가 n\displaystyle n인 표본평균 X‾\displaystyle \overline{X}는 평균이 m\displaystyle m이고 표준편차가 σn\displaystyle \frac\sigma{\sqrt n}인 정규분포를 따른다. 따라서 X‾\displaystyle \overline{X}를 표준화한 확률변수 Z=X‾−mσn\displaystyle Z=\frac{\overline{X}-m}{\frac\sigma{\sqrt n}}은 표준정규분포를 따른다.크기가 n\displaystyle n인 표본으로부터 얻은 표본평균 X‾\displaystyle \overline{X}의 실제 관측값을 x‾\displaystyle \overline{x}라 하면 모집단의 평균인 m\displaystyle m에 대한 신뢰도 95%인 신뢰구간은 다음과 같이 구할 수 있다.x‾−1.96σn≤m≤x‾+1.96σn\displaystyle \overline{x}-1.96\frac\sigma{\sqrt n}\le m\le\overline{x}+1.96\frac\sigma{\sqrt n}(단, Z\displaystyle Z가 표준정규분포를 따를 때, 확률 P(∣Z∣≤1.96)=0.95\displaystyle \mathrm{P}(|Z|\le1.96)=0.95로 계산한다.)

※ 모든 문항에서 풀이과정을 반드시 기술하시오.

【1-1】서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던져서 나온 두 눈의 수 중 작지 않은 값을 확률변수 X\displaystyle X라 할 때, (가)를 이용하여 다음의 물음에 답하시오.(1) 이산확률변수 X\displaystyle X의 확률질량함수는P(X=x)=①x+②(x=1,2,3,4,5,6)\displaystyle \mathrm{P}(X=x)=\boxed{\text{①}}x+\boxed{\text{②}}\quad(x=1,2,3,4,5,6)로 표현할 수 있다. ①과 ②에 들어갈 값을 구하시오. (20점)(2) 직선 y=x3+34\displaystyle y=\frac x3+\frac34과 이차함수 y=−a12(x2−1)+13\displaystyle y=-\frac a{12}(x^2-1)+\frac13 (a≠0\displaystyle a\ne0)의 그래프가 만나지 않거나 한 점에서 만나도록 하는 a\displaystyle a의 값의 범위를 c≤a≤d\displaystyle c\le a\le d라고 할 때, c\displaystyle c와 d\displaystyle d의 값을 구하시오. (20점)(3) 【1-1】(2)에서 구한 c\displaystyle c와 d\displaystyle d에 대하여 확률 P(c≤X≤d)\displaystyle \mathrm{P}(c\le X\le d)를 구하시오. (10점)

【1-2】이산확률변수 X\displaystyle X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

X\displaystyle X−1\displaystyle -10\displaystyle 01\displaystyle 12\displaystyle 23\displaystyle 3합계
P(X=x)\displaystyle \mathrm{P}(X=x)r\displaystyle r524\displaystyle \frac5{24}s\displaystyle s18\displaystyle \frac18112\displaystyle \frac1{12}1

(가) 를 이용하여 다음의 물음에 답하시오.(1) E(X)=1312\displaystyle \mathrm{E}(X)=\frac{13}{12}일 때, r\displaystyle r와 s\displaystyle s의 값을 구하시오. (20점)(2) 분산 V(X)\displaystyle \mathrm{V}(X)의 최댓값을 구하고 그 때의 r\displaystyle r와 s\displaystyle s의 값을 구하시오. (30점)

【1-3】어느 공장에서 생산하는 제품의 길이는 평균이 m\displaystyle m이고 표준편차가 σ\displaystyle \sigma인 정규분포를 따른다고 한다. 이 공장에서 생산되는 제품 중에서 n\displaystyle n개를 임의추출하여 측정한 결과, 제품 길이의 평균 m\displaystyle m에 대한 신뢰도 95%의 신뢰구간은 54.54≤m≤58.46\displaystyle 54.54\le m\le58.46으로 구해졌다. (나)를 이용하여 다음의 물음에 답하시오. (단, 길이의 단위는 cm이다.)(1) 이미 추출된 크기가 n\displaystyle n인 표본에 이 공장에서 생산되는 제품 중에서 300개를 추가로 임의추출하여 더한 후, 평균 m\displaystyle m에 대한 신뢰도 95%의 신뢰구간을 다시 구하였더니 54.02≤m≤55.98\displaystyle 54.02\le m\le55.98이었다. 기존 표본의 크기 n\displaystyle n과 표준편차 σ\displaystyle \sigma를 구하시오. (30점)(2) 먼저 뽑힌 크기가 n\displaystyle n인 표본의 표본평균과 【1-3】(1)에서 추가로 임의추출한 크기가 300인 표본의 표본평균을 각각 구하시오. (20점)

해설강의 준비중

경북대 2017학년도 수시 자연계열 I 1번 · mathesis.kr/archive/knu/2017su/jayeon1_1

[물음 1](1) 확률변수 X\displaystyle X의 분포는

X\displaystyle X123456합계
P(X=x)\displaystyle \mathrm{P}(X=x)136\displaystyle \frac1{36}336\displaystyle \frac3{36}536\displaystyle \frac5{36}736\displaystyle \frac7{36}936\displaystyle \frac9{36}1136\displaystyle \frac{11}{36}1

+50점 · 1. 확률변수의 확률질량함수를 이용하여 ①과 ②의 값을 구하였는가? 2. 주어진 조건을 통해 부등식 4−a(5−a)≤0\displaystyle 4-a(5-a)\le0을 얻고 이를 이용하여 c\displaystyle c와 d\displaystyle d의 값을 구하였는가? 3. P(c≤X≤d)\displaystyle \mathrm{P}(c\le X\le d)를 구하였는가?

이므로 P(X=x)=2x−136=118x−136\displaystyle \mathrm{P}(X=x)=\frac{2x-1}{36}=\frac1{18}x-\frac1{36} (x=1,2,3,4,5,6\displaystyle x=1,2,3,4,5,6)이다.따라서 ①=118\displaystyle =\frac1{18}이고 ②=−136\displaystyle =-\frac1{36}이다.(2) 문제의 조건으로부터 방정식 x3+34=−a12x2+a+412\displaystyle \frac x3+\frac34=-\frac a{12}x^2+\frac{a+4}{12}는 실근을 갖지 않거나 중근을 가져야 한다. 그러므로 D4=4−a(5−a)≤0\displaystyle \frac D4=4-a(5-a)\le0이고 1≤a≤4\displaystyle 1\le a\le4이다. 따라서 c=1\displaystyle c=1이고 d=4\displaystyle d=4이다.(3) c=1,d=4\displaystyle c=1,d=4이므로 P(c≤X≤d)=1+3+5+736=49\displaystyle \mathrm{P}(c\le X\le d)=\frac{1+3+5+7}{36}=\frac49이다.

+50점 · 1. 확률분포표의 특성을 이용하여 r\displaystyle r과 s\displaystyle s의 두 관계식을 구하고 이를 통해 r\displaystyle r과 s\displaystyle s의 값을 구하였는가? 2. V(X)\displaystyle \mathrm{V}(X)의 최댓값과 이때의 r\displaystyle r와 s\displaystyle s의 값을 구하였는가?

[물음 2](1) (가)와 확률분포표로부터 r+s=712\displaystyle r+s=\frac7{12}이고 E(X)=−r+s+12=1312\displaystyle \mathrm{E}(X)=-r+s+\frac12=\frac{13}{12}이다.따라서 s=712\displaystyle s=\frac7{12}이고 r=0\displaystyle r=0이다.(2) r=712−s\displaystyle r=\frac7{12}-s이므로 E(X2)=116, E(X)=2s−112\displaystyle \mathrm{E}(X^2)=\frac{11}{6},\ \mathrm{E}(X)=2s-\frac1{12}이다. (가)에 의하여 V(X)=116−(2s−112)2\displaystyle \mathrm{V}(X)=\frac{11}{6}-\left(2s-\frac1{12}\right)^2이므로 s=124\displaystyle s=\frac1{24} (r=1324\displaystyle r=\frac{13}{24})일 때 최댓값 116\displaystyle \frac{11}{6}을 갖는다.

+50점 · 1. 주어진 조건과 신뢰구간의 성질을 이용하여 n\displaystyle n과 σ\displaystyle \sigma를 구하였는가? 2. 신뢰구간의 성질을 이용하여 기존의 표본평균과 300개의 표본평균을 구하였는가?

[물음 3](1) (나)를 이용하여 n\displaystyle n개의 표본으로 구한 신뢰구간의 길이는 (58.46−54.54)=3.92\displaystyle (58.46-54.54)=3.92이고 (n+300)\displaystyle (n+300)개의 표본으로 구한 신뢰구간의 길이는 (55.98−54.02)=1.96\displaystyle (55.98-54.02)=1.96이다.그러므로 2×(1.96σn)=3.92,2×(1.96σn+300)=1.96\displaystyle 2\times\left(1.96\frac\sigma{\sqrt n}\right)=3.92,\quad2\times\left(1.96\frac\sigma{\sqrt{n+300}}\right)=1.96이다. σ=10\displaystyle \sigma=10이고 n=100\displaystyle n=100이다.(2) (나)에 의하여 기존의 표본평균은 58.46+54.542=56.5\displaystyle \frac{58.46+54.54}{2}=56.5이고 400개의 표본 평균은 55.98+54.022=55\displaystyle \frac{55.98+54.02}{2}=55이다. 300개의 표본평균을 x‾\displaystyle \overline{x}라 하면 100×56.5+300×x‾400=55\displaystyle \frac{100\times56.5+300\times\overline{x}}{400}=55이므로 x‾=54.5\displaystyle \overline{x}=54.5이다.

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