자연계열 I 1번

이므로 $\displaystyle \mathrm{P}(X=x)=\frac{2x-1}{36}=\frac1{18}x-\frac1{36}$ ($\displaystyle x=1,2,3,4,5,6$)이다.따라서 ①$\displaystyle =\frac1{18}$이고 ②$\displaystyle =-\frac1{36}$이다.(2) 문제의 조건으로부터 방정식 $\displaystyle \frac x3+\frac34=-\frac a{12}x^2+\frac{a+4}{12}$는 실근을 갖지 않거나 중근을 가져야 한다. 그러므로 $\displaystyle \frac D4=4-a(5-a)\le0$이고 $\displaystyle 1\le a\le4$이다. 따라서 $\displaystyle c=1$이고 $\displaystyle d=4$이다.(3) $\displaystyle c=1,d=4$이므로 $\displaystyle \mathrm{P}(c\le X\le d)=\frac{1+3+5+7}{36}=\frac49$이다.

[물음 2](1) (가)와 확률분포표로부터 $\displaystyle r+s=\frac7{12}$이고 $\displaystyle \mathrm{E}(X)=-r+s+\frac12=\frac{13}{12}$이다.따라서 $\displaystyle s=\frac7{12}$이고 $\displaystyle r=0$이다.(2) $\displaystyle r=\frac7{12}-s$이므로 $\displaystyle \mathrm{E}(X^2)=\frac{11}{6},\ \mathrm{E}(X)=2s-\frac1{12}$이다. (가)에 의하여 $\displaystyle \mathrm{V}(X)=\frac{11}{6}-\left(2s-\frac1{12}\right)^2$이므로 $\displaystyle s=\frac1{24}$ ($\displaystyle r=\frac{13}{24}$)일 때 최댓값 $\displaystyle \frac{11}{6}$을 갖는다.

[물음 3](1) (나)를 이용하여 $\displaystyle n$개의 표본으로 구한 신뢰구간의 길이는 $\displaystyle (58.46-54.54)=3.92$이고 $\displaystyle (n+300)$개의 표본으로 구한 신뢰구간의 길이는 $\displaystyle (55.98-54.02)=1.96$이다.그러므로 $\displaystyle 2\times\left(1.96\frac\sigma{\sqrt n}\right)=3.92,\quad2\times\left(1.96\frac\sigma{\sqrt{n+300}}\right)=1.96$이다. $\displaystyle \sigma=10$이고 $\displaystyle n=100$이다.(2) (나)에 의하여 기존의 표본평균은 $\displaystyle \frac{58.46+54.54}{2}=56.5$이고 400개의 표본 평균은 $\displaystyle \frac{55.98+54.02}{2}=55$이다. 300개의 표본평균을 $\displaystyle \overline{x}$라 하면 $\displaystyle \frac{100\times56.5+300\times\overline{x}}{400}=55$이므로 $\displaystyle \overline{x}=54.5$이다.