자연계열 II 1번

(가)이산확률변수 $\displaystyle X$가 $\displaystyle x_i$의 값을 가질 확률을 $\displaystyle \mathrm{P}(X=x_i)=p_i$ ($\displaystyle i=1,2,\cdots,n$)라고 할 때, $\displaystyle x_1,x_2,\cdots,x_n$과 확률 $\displaystyle p_1,p_2,\cdots,p_n$ 사이의 대응 관계를 확률변수 $\displaystyle X$의 확률분포라고 한다.(1) 이산확률변수 $\displaystyle X$의 확률질량함수 $\displaystyle \mathrm{P}(X=x_i)=p_i$ ($\displaystyle i=1,2,\cdots,n$)는 다음의 성질을 만족한다.① $\displaystyle 0\le p_i\le1$② $\displaystyle \sum_{i=1}^n p_i=p_1+p_2+\cdots+p_n=1$③ $\displaystyle \mathrm{P}(x_i\le X\le x_j)=\sum_{k=i}^j\mathrm{P}(X=x_k)=\sum_{k=i}^j p_k$(단, $\displaystyle i,j=1,2,\cdots,n,\ i\le j$)(2) 이산확률변수 $\displaystyle X$의 기댓값(평균) $\displaystyle \mathrm{E}(X)$와 분산 $\displaystyle \mathrm{V}(X)$는$\displaystyle \mathrm{E}(X)=m=\sum_{i=1}^n x_ip_i$$\displaystyle \begin{aligned}\mathrm{V}(X)&=\mathrm{E}((X-m)^2)=\sum_{i=1}^n(x_i-m)^2p_i\\&=\mathrm{E}(X^2)-m^2=\sum_{i=1}^n x_i^2p_i-\left(\sum_{i=1}^n x_ip_i\right)^2\end{aligned}$이다.

(나)(1) 두 함수 $\displaystyle y=f(u),\ u=g(x)$가 미분가능할 때, 합성함수 $\displaystyle y=f(g(x))$의 도함수는$\displaystyle y^{\prime}=f^{\prime}(g(x))g^{\prime}(x)$이다.(2) 미분가능한 함수 $\displaystyle f(x)$의 역함수 $\displaystyle f^{-1}(x)$가 존재하고 미분가능할 때, 함수 $\displaystyle f^{-1}(x)$의 도함수는$\displaystyle (f^{-1})^{\prime}(x)=\frac1{f^{\prime}(f^{-1}(x))}$　(단, $\displaystyle f^{\prime}(f^{-1}(x))\ne0$)이다.

(다)함수 $\displaystyle f(x)$가 구간 $\displaystyle [a,b]$에서 연속일 때,$\displaystyle \frac{d}{dx}\int_a^x f(t)dt=f(x)$이다. (단, $\displaystyle a<x<b$)

[조건 1] 함수 $\displaystyle f(x)$의 역함수 $\displaystyle f^{-1}(x)$가 존재하고 미분가능하다.[조건 2] $\displaystyle g(0)=f(1)$이고 $\displaystyle f^{\prime}(1)=\frac13$이다.[조건 3] $\displaystyle x>-1$인 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여$\displaystyle f^{-1}(g(x))+2g(x)=2\sin x+e^{1-x}\int_{-1}^x|e^t-1|dt+\frac12$이다.