수리논술, 배움에서 논증의 완성까지.

자연계열 II 2번

경북대 2017학년도 수시 자연계열 II 2번 · mathesis.kr/archive/knu/2017su/jayeon2_2

이전 문제
배점100점
예상 소요 시간미공개

문제

[2] 다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

(가)미분가능한 함수 y=f(x)\displaystyle y=f(x)의 그래프 위의 점 (a,f(a))\displaystyle (a,f(a))에서의 접선의 방정식은y=f′(a)(x−a)+f(a)\displaystyle y=f^{\prime}(a)(x-a)+f(a)이다.

(나)함수 f(x)\displaystyle f(x)가 구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속일 때, 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x)와 x\displaystyle x축 및 두 직선 x=a,x=b\displaystyle x=a,x=b로 둘러싸인 도형의 넓이 S\displaystyle S는S=∫ab∣f(x)∣dx\displaystyle S=\int_a^b|f(x)|dx이다.

(다)각 θ1,θ2\displaystyle \theta_1,\theta_2에 대하여tan⁡(θ1−θ2)=tan⁡θ1−tan⁡θ21+tan⁡θ1tan⁡θ2\displaystyle \tan(\theta_1-\theta_2)=\frac{\tan\theta_1-\tan\theta_2}{1+\tan\theta_1\tan\theta_2}가 성립한다.

※ 모든 문항에서 풀이과정을 반드시 기술하시오.

곡선 y=px3\displaystyle y=px^3 (0<p≤439\displaystyle 0<p\le\frac{4\sqrt3}{9})과 중심이 A(0,−1)\displaystyle \mathrm{A}(0,-1)이고 반지름의 길이가 1인 원 C\displaystyle C가 있다. 곡선 y=px3\displaystyle y=px^3 위의 점 B(a,pa3)\displaystyle \mathrm{B}(a,pa^3)에서의 접선 ℓ\displaystyle \ell이 원 C\displaystyle C와 접하는 점을 T라 하자. (단, a≠0\displaystyle a\ne0이고 O는 원점이다.)

삼차곡선과 중심 A인 원 C의 공통 접선과 접점 B T

【2-1】곡선 y=px3\displaystyle y=px^3 위의 점 B에서의 접선 ℓ\displaystyle \ell이 x\displaystyle x축과 만나는 점을 D라 하고, 직선 ℓ\displaystyle \ell이 x\displaystyle x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 α\displaystyle \alpha라 하자. tan⁡α=15\displaystyle \tan\alpha=\sqrt{15}일 때, (가)를 이용하여 BD‾DT‾\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{BD}}}{\overline{\mathrm{DT}}}의 값을 구하시오. (20점)

【2-2】다음은 a=3+324\displaystyle a=\frac{3+3\sqrt2}{4}일 때, 곡선 y=px3\displaystyle y=px^3 (0≤x≤a\displaystyle 0\le x\le a)과 직선 ℓ\displaystyle \ell 및 부채꼴 OAT의 호 OT (단, 0<∠OAT<π\displaystyle 0<\angle\mathrm{OAT}<\pi)로 둘러싸인 도형의 넓이 S\displaystyle S를 구하는 과정이다.(1) (가)를 이용하여 a\displaystyle a와 p\displaystyle p 사이의 관계식을 구하면 아래와 같다.

a3−①a−1p=0\displaystyle a^3-\boxed{\text{①}}a-\frac1p=0

①에 들어갈 유리수를 sr\displaystyle \frac sr 꼴로 쓸 때, r+s\displaystyle r+s의 값을 구하시오.(단, r,s\displaystyle r,s는 서로소인 자연수이다.) (25점)(2) 【2-2】(1)의 관계식과 (나)를 이용하여 넓이 S\displaystyle S를 구하면S=②+③2−38π\displaystyle S=\boxed{\text{②}}+\boxed{\text{③}}\sqrt2-\frac38\pi이다. ②와 ③에 들어갈 유리수를 구하시오. (25점)

【2-3】p=439\displaystyle p=\frac{4\sqrt3}{9}일 때, 곡선 y=px3\displaystyle y=px^3과 원 C\displaystyle C에 동시에 접하는 접선이 두 개 있다. 이 두 직선을 ℓ1,ℓ2\displaystyle \ell_1,\ell_2라 할 때, ℓ1,ℓ2\displaystyle \ell_1,\ell_2가 이루는 예각의 크기를 θ\displaystyle \theta라 하자. (다)를 이용하여 tan⁡θ\displaystyle \tan\theta의 값을 구하시오. (단, 직선 ℓ1\displaystyle \ell_1과 ℓ2\displaystyle \ell_2의 기울기는 모두 0이 아니다.) (30점)

해설강의 준비중

경북대 2017학년도 수시 자연계열 II 2번 · mathesis.kr/archive/knu/2017su/jayeon2_2

+20점 · - 접선의 방정식을 구할 수 있는가? - 선분 DT‾, BD‾\displaystyle \overline{\mathrm{DT}},\ \overline{\mathrm{BD}}의 길이를 찾아 BD‾DT‾\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{BD}}}{\overline{\mathrm{DT}}}를 구할 수 있는가?

【2-1】 (가)에 의하여 접선의 방정식은 y−pa3=3pa2(x−a)\displaystyle y-pa^3=3pa^2(x-a)이므로 D(23a,0)\displaystyle \mathrm{D}\left(\frac23a,0\right)이다.그리고 tan⁡α=3pa2=15\displaystyle \tan\alpha=3pa^2=\sqrt{15}이므로 BD‾=(13a)2+(pa3)2=43a\displaystyle \overline{\mathrm{BD}}=\sqrt{\left(\frac13a\right)^2+(pa^3)^2}=\frac43a이다. 한편 DT‾=DO‾\displaystyle \overline{\mathrm{DT}}=\overline{\mathrm{DO}}이므로 DT‾=23a\displaystyle \overline{\mathrm{DT}}=\frac23a이다. 따라서 BD‾DT‾=2\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{BD}}}{\overline{\mathrm{DT}}}=2이다.

+25점 · - a\displaystyle a와 p\displaystyle p의 관계식을 찾고 ①의 값을 구할 수 있는가?

【2-2】(1) 접선과 점 (0,−1)\displaystyle (0,-1)사이의 거리가 1이므로 ∣−1+2pa3∣1+(−3pa2)2=1\displaystyle \frac{|-1+2pa^3|}{\sqrt{1+(-3pa^2)^2}}=1이다.양변을 정리하면 a3−94a−1p=0\displaystyle a^3-\frac94a-\frac1p=0이다. 따라서 ①=94\displaystyle =\frac94이므로 r+s=13\displaystyle r+s=13이다.

+25점 · - 넓이 S\displaystyle S를 구하여 ②와 ③을 찾을 수 있는가?

(2) 접선 ℓ\displaystyle \ell과 x\displaystyle x축이 이루는 각을 θ\displaystyle \theta라 하면 (나)에 의하여 넓이는S=∫0apx3dx−pa46+23a−12(π−θ)=pa412+23a−12(π−θ)\displaystyle S=\int_0^a px^3dx-\frac{pa^4}{6}+\frac23a-\frac12(\pi-\theta)=\frac{pa^4}{12}+\frac23a-\frac12(\pi-\theta)이다.a=3+324\displaystyle a=\frac{3+3\sqrt2}{4}일 때, tan⁡θ=3pa2=3a2a3−94a=1\displaystyle \tan\theta=3pa^2=\frac{3a^2}{a^3-\frac94a}=1이다. 즉, θ=π4\displaystyle \theta=\frac\pi4이다.그러므로 S=pa412+23a−38π=1916+982−38π\displaystyle S=\frac{pa^4}{12}+\frac23a-\frac38\pi=\frac{19}{16}+\frac98\sqrt2-\frac38\pi이다. 따라서 ②=1916\displaystyle =\frac{19}{16}, ③=98\displaystyle =\frac98이다.

+30점 · - 접점의 x\displaystyle x좌표 α,β\displaystyle \alpha,\beta를 찾을 수 있는가? - 접선의 방정식을 이용하여 tan⁡θ1\displaystyle \tan\theta_1와 tan⁡θ2\displaystyle \tan\theta_2를 찾을 수 있는가? - tan⁡θ\displaystyle \tan\theta를 찾을 수 있는가?

【2-3】 방정식 a3−94a−334=0\displaystyle a^3-\frac94a-\frac{3\sqrt3}{4}=0의 해의 개수가 2이므로 a3−94a−334=(a−α)2(a−β)\displaystyle a^3-\frac94a-\frac{3\sqrt3}{4}=(a-\alpha)^2(a-\beta)를 만족하는 실수 α,β\displaystyle \alpha,\beta가 존재한다. 양변의 계수를 비교하면 α=−32, β=3\displaystyle \alpha=-\frac{\sqrt3}{2},\ \beta=\sqrt3이다. 두 접선이 x\displaystyle x축과 이루는 각을 θ1,θ2\displaystyle \theta_1,\theta_2라 하면 a=−32\displaystyle a=-\frac{\sqrt3}{2}일 때, tan⁡θ1=3pa2=3\displaystyle \tan\theta_1=3pa^2=\sqrt3이고 a=3\displaystyle a=\sqrt3일 때, tan⁡θ2=3pa2=43\displaystyle \tan\theta_2=3pa^2=4\sqrt3이므로 (다)에 의하여 tan⁡θ=tan⁡(θ2−θ1)=3313\displaystyle \tan\theta=\tan(\theta_2-\theta_1)=\frac{3\sqrt3}{13}이다.

이 문항 오류 제보

첨삭 사례

아직 등록된 첨삭 사례가 없습니다.

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개

아직 등록된 질문이 없습니다. 질문 작성은 멤버십 회원만 가능합니다.