수리논술, 배움에서 논증의 완성까지.

자연계열 I 2번

경북대 2017학년도 수시 자연계열 I 2번 · mathesis.kr/archive/knu/2017su/jayeon1_2

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[2] 다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

(가)(1) 등비급수 ∑n=1∞arn−1\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}ar^{n-1} (a≠0\displaystyle a\ne0)은① ∣r∣<1\displaystyle |r|<1이면 수렴하고 그 합은 a1−r\displaystyle \frac a{1-r}이다.② ∣r∣≥1\displaystyle |r|\ge1이면 발산한다.(2) 첫째항이 a\displaystyle a이고 공차가 d\displaystyle d인 등차수열 {an}\displaystyle \{a_n\}의 일반항은an=a+(n−1)d(n=1,2,⋯ )\displaystyle a_n=a+(n-1)d\quad(n=1,2,\cdots)이다.(3) 등차수열의 첫째항부터 제n\displaystyle n항까지의 합 Sn\displaystyle S_n은① 첫째항이 a\displaystyle a이고 제n\displaystyle n항이 l\displaystyle l일 때, Sn=n(a+l)2\displaystyle S_n=\frac{n(a+l)}2이다.② 첫째항이 a\displaystyle a이고 공차가 d\displaystyle d일 때, Sn=n{2a+(n−1)d}2\displaystyle S_n=\frac{n\{2a+(n-1)d\}}2이다.(4) 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 다음이 성립한다.∑k=1nk=n(n+1)2\displaystyle \sum_{k=1}^n k=\frac{n(n+1)}2∑k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6

(나)함수 f(x)\displaystyle f(x)가 x=a\displaystyle x=a에서 미분가능할 때, 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x) 위의 점 (a,f(a))\displaystyle (a,f(a))에서의 접선의 방정식은y=f′(a)(x−a)+f(a)\displaystyle y=f^{\prime}(a)(x-a)+f(a)이다.

(다)두 함수 f(x), g(x)\displaystyle f(x),\ g(x)가 구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속일 때, 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x)와 y=g(x)\displaystyle y=g(x) 및 두 직선 x=a, x=b\displaystyle x=a,\ x=b로 둘러싸인 도형의 넓이 S\displaystyle S는S=∫ab∣f(x)−g(x)∣dx\displaystyle S=\int_a^b|f(x)-g(x)|dx이다.

※ 모든 문항에서 풀이과정을 반드시 기술하시오.

【2-1】첫째항이 a\displaystyle a이고 공차가 d\displaystyle d인 등차수열 {an}\displaystyle \{a_n\}이 다음 조건을 만족시킬 때, (가)를 이용하여 물음에 답하시오.

[조건 1] ∑n=110an=4a10\displaystyle \sum_{n=1}^{10}a_n=4a_{10}[조건 2] ∑n=1∞(d−53)n\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(d-\frac53\right)^n이 수렴한다.

(1) 첫째항 a\displaystyle a의 값의 범위를 구하시오. (20점)(2) an>0\displaystyle a_n>0을 만족시키는 자연수 n\displaystyle n의 최솟값을 k\displaystyle k라 할 때, k\displaystyle k의 값을 구하시오. (15점)(3) 【2-1】(2)에서 구한 k\displaystyle k에 대하여 ak=1\displaystyle a_k=1일 때, ∑n=1∞(d−53)n\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(d-\frac53\right)^n의 값을 구하시오. (15점)(4) 【2-1】(2)에서 구한 k\displaystyle k에 대하여 ak=1\displaystyle a_k=1일 때, ∑n=110nan\displaystyle \sum_{n=1}^{10}na_n의 값을 구하시오. (20점)

【2-2】다음 그림과 같이 양수 a\displaystyle a에 대하여 이차함수 f(x)=ax2\displaystyle f(x)=ax^2의 그래프와 점 P에서 접하고 삼차함수 g(x)=−x3+2x\displaystyle g(x)=-x^3+2x의 그래프와 점 Q에서 접하는 직선을 ℓ\displaystyle \ell이라 하자. (단, P는 제1사분면의 점이고 Q는 제3사분면의 점이다.)

이차함수와 삼차함수의 공통 접선과 접점 P Q 및 y절편 M

직선 ℓ\displaystyle \ell의 y\displaystyle y절편을 M이라 할 때, QM‾=54PM‾\displaystyle \overline{\mathrm{QM}}=\frac54\overline{\mathrm{PM}}이다. (나)와 (다)를 이용하여 다음 물음에 답하시오.(1) 상수 a\displaystyle a의 값과 점 P의 x\displaystyle x좌표를 구하시오. (30점)(2) 직선 ℓ\displaystyle \ell의 방정식을 구하시오. (20점)(3) 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x)와 직선 ℓ\displaystyle \ell 및 x=0\displaystyle x=0으로 둘러싸인 영역의 넓이를 S1\displaystyle S_1, 곡선 y=g(x)\displaystyle y=g(x)와 직선 ℓ\displaystyle \ell 및 x=0\displaystyle x=0으로 둘러싸인 영역 중 x≤0\displaystyle x\le0인 부분의 넓이를 S2\displaystyle S_2라 할 때, S2S1\displaystyle \frac{S_2}{S_1}의 값을 구하시오. (30점)

해설강의 준비중

경북대 2017학년도 수시 자연계열 I 2번 · mathesis.kr/archive/knu/2017su/jayeon1_2

+20점 · - a\displaystyle a와 d\displaystyle d의 관계식을 잘 구하였는가? - d\displaystyle d의 범위와 a\displaystyle a의 범위를 구하였는가?

【2-1】(1) (가)와 [조건 1]에 의하여 5(2a+9d)=4(a+9d)\displaystyle 5(2a+9d)=4(a+9d)이므로 a=−32d\displaystyle a=-\frac32d이다. (가)와 [조건 2]에 의하여 23<d<83\displaystyle \frac23<d<\frac83이다. 따라서 a\displaystyle a의 범위는 −4<a<−1\displaystyle -4<a<-1이다.

+15점 · - an\displaystyle a_n의 일반항을 구하였는가? - k\displaystyle k의 값을 구하였는가?

(2) (가)와 조건으로부터 an=a+(n−1)d=(n−52)d\displaystyle a_n=a+(n-1)d=\left(n-\frac52\right)d이다.d>0\displaystyle d>0이고 an>0\displaystyle a_n>0이므로 n≥52\displaystyle n\ge\frac52이다. 따라서 k=3\displaystyle k=3이다.

+15점 · - d\displaystyle d의 값을 구하였는가? - ∑n=1∞(d−53)n\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(d-\frac53\right)^n의 값을 정확히 구하였는가?

(3) a3=1\displaystyle a_3=1이면 12d=1\displaystyle \frac12d=1이므로 d=2\displaystyle d=2이다. (가)에 의하여 ∑n=1∞(d−53)n=∑n=1∞13n=12\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(d-\frac53\right)^n=\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{3^n}=\frac12이다.

+20점 · - {an}\displaystyle \{a_n\}의 일반항을 잘 구하였는가? - ∑n=110nan\displaystyle \sum_{n=1}^{10}na_n의 값을 정확히 구하였는가?

(4) d=2\displaystyle d=2이고 a=−32d=−3\displaystyle a=-\frac32d=-3이므로 {an}\displaystyle \{a_n\}의 일반항은 an=2n−5\displaystyle a_n=2n-5이다. 따라서 (가)에 의하여∑n=110nan=∑n=110(2n2−5n)=495\displaystyle \sum_{n=1}^{10}na_n=\sum_{n=1}^{10}(2n^2-5n)=495이다.

+30점 · - 점 P에서의 접선의 방정식과 점 Q에서의 접선의 방정식을 이용하여 관계식을 잘 표현하였는가? - a\displaystyle a와 점 P의 x\displaystyle x좌표와 관계식을 구하였는가? - a\displaystyle a와 점 P의 x\displaystyle x좌표의 값을 구하였는가?

【2-2】(1) 점 P의 x\displaystyle x좌표를 α\displaystyle \alpha라 하면 점 Q의 x\displaystyle x좌표는 −54α\displaystyle -\frac54\alpha이다. (나)에 의하여 점 P에서의 접선의 방정식은 y=2aαx−aα2\displaystyle y=2a\alpha x-a\alpha^2이고 점 Q에서의 접선의 방정식은 y=(2−7516α2)x−2(54)3α3\displaystyle y=\left(2-\frac{75}{16}\alpha^2\right)x-2\left(\frac54\right)^3\alpha^3이다. 이 두 식은 같은 직선 ℓ\displaystyle \ell을 나타내므로 2aα=2−7516α2\displaystyle 2a\alpha=2-\frac{75}{16}\alpha^2,　a=2(54)3α\displaystyle a=2\left(\frac54\right)^3\alpha이다. 따라서 α2=425\displaystyle \alpha^2=\frac4{25}이다.α>0\displaystyle \alpha>0이므로 α=25\displaystyle \alpha=\frac25이고 a=2516\displaystyle a=\frac{25}{16}이다.

+20점 · - 접선의 방정식의 기울기를 구하였는가? - 접선의 방정식을 y=ax+b\displaystyle y=ax+b의 꼴로 나타냈는가?

(2) 접선의 방정식은 y=2aαx−aα2\displaystyle y=2a\alpha x-a\alpha^2이므로 【2-2】(1)의 결과로부터 y=54x−14\displaystyle y=\frac54x-\frac14이다.

+30점 · - S1\displaystyle S_1의 값을 정확히 구하였는가? - S2\displaystyle S_2의 값을 정확히 구하였는가? - S2S1\displaystyle \frac{S_2}{S_1}의 값을 정확히 구하였는가?

(3) 점 P의 x\displaystyle x좌표가 25\displaystyle \frac25이고 점 Q의 x\displaystyle x좌표는 −12\displaystyle -\frac12이므로 (다)에 의하여S1=∫025(2516x2−54x+14)dx=130\displaystyle S_1=\int_0^{\frac25}\left(\frac{25}{16}x^2-\frac54x+\frac14\right)dx=\frac1{30}S2=∫−120(−x3+2x−54x+14)dx=364\displaystyle S_2=\int_{-\frac12}^0\left(-x^3+2x-\frac54x+\frac14\right)dx=\frac3{64}이다. 따라서 S2S1=4532\displaystyle \frac{S_2}{S_1}=\frac{45}{32}이다.

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