자연계열 I 1번

[1-1] (30점)○ 모범답안:전체 경우의 수는 $\displaystyle \frac{10!}{3!2!}$이고 O가 서로 이웃하지 않는 경우는 $\displaystyle \frac{7!}{2!}\times{}_8\mathrm C_3$이다.

따라서 그 확률은 $\displaystyle \frac{\frac{7!}{2!}\times{}_8\mathrm C_3}{\frac{10!}{3!2!}}=\frac7{15}$이다. 또는 전체 경우의 수는 $\displaystyle 10!$이고 O가 서로 이웃하지 않는 경우는 A, B, C, D, E, F, F 7개의 문자를 나열하고 그 사이 또는 양 끝인 8곳 중에서 3개를 선택하여 O를 넣으면 된다. 그러므로 그 경우의 수는 $\displaystyle 7!\times{}_8\mathrm P_3$이다. 따라서 어떤 O도 서로 이웃하지 않을 확률은 $\displaystyle \frac{7!\times{}_8\mathrm P_3}{10!}=\frac7{15}$이다.이다.

[1-2] (60점)○ 모범답안:(1) 함수 $\displaystyle f(x)$가 연속확률변수 $\displaystyle X$의 확률밀도함수이므로 함수 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프와 $\displaystyle x$축, 직선 $\displaystyle x=-2,\ x=1$로 둘러싸인 부분의 넓이가 1이다. 즉 이 부분은 아래 그림과 같이 높이가 $\displaystyle 3a$이고 밑변의 길이가 3인 삼각형이다. 따라서 $\displaystyle 3a\times3\times\frac12=1$을 만족하므로 $\displaystyle a=\frac29$이다.

$\displaystyle \mathrm P(-1\le X\le0)$의 값은 아래의 표시된 부분의 넓이와 같으므로 이 넓이는 전체넓이 1에서 양쪽의 삼각형 넓이를 빼면 된다. 양쪽 삼각형 넓이 중 왼쪽 삼각형의 넓이는 $\displaystyle 1\times\frac13\times\frac12=\frac16$이고 오른쪽 삼각형의 넓이는 $\displaystyle 1\times\frac23\times\frac12=\frac13$이므로 $\displaystyle \mathrm P(-1\le X\le0)=1-\frac16-\frac13=\frac12$이다.

양쪽 삼각형 넓이 중 왼쪽 삼각형의 넓이는 $\displaystyle \frac12\times(c+2)\times\left(\frac13c+\frac23\right)=\frac{(c+2)^2}6$이고, 오른쪽 삼각형의 넓이는 $\displaystyle \frac12\times(-c)\times\left(-\frac23(c+1)+\frac23\right)=\frac13c^2$이므로$\displaystyle \mathrm P(c\le X\le1+c)=1-\frac{(c+2)^2}6-\frac{c^2}3=-\frac12\left(c+\frac23\right)^2+\frac59$이다. $\displaystyle c=-\frac23$일 때 $\displaystyle \mathrm P(c\le X\le1+c)$의 최댓값은 $\displaystyle \frac59$이다. 따라서 $\displaystyle \alpha=-\frac23$

이고 $\displaystyle \beta=\frac59$이다.

[1-3] (30점)불량품이 뽑히는 사건을 $\displaystyle E$, 생산된 스마트폰이 A 공장일 사건을 $\displaystyle A$, 생산된 스마트폰이 B공장일 사건을 $\displaystyle B$라 하자. $\displaystyle \mathrm P(E)=\mathrm P(A\cap E)\cup\mathrm P(B\cap E)=\mathrm P(E|A)\mathrm P(A)+\mathrm P(E|B)\mathrm P(B)$이므로 이 기업에서 생산된 스마트폰 중 임의로 추출한 제품이 불량품일 확률 $\displaystyle p$는 $\displaystyle p=0.6\times0.05+0.4\times0.1=0.07$이다. Caution. 합집합·교집합은 사건 사이에 쓰고, 확률값의 연산과 구별해야 한다: 소문항 1-3의 $\displaystyle P(A\cap E)\cup P(B\cap E)$는 두 확률값 사이에 합집합 기호를 쓴 표현이다. 공장 출처 사건 $\displaystyle A$, $\displaystyle B$는 서로 배반이고 전체 경우를 나누므로 사건 사이에는$\displaystyle E=(A\cap E)\cup(B\cap E)$가 성립하며, 확률은$\displaystyle P(E)=P(A\cap E)+P(B\cap E)$로 구해야 한다. 뒤의 불량품 확률 $\displaystyle 0.07$과 불량품 개수의 기댓값 $\displaystyle 14$는 맞다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

그리고 이 기업에서 생산된 제품 중에서 임의로 200개를 추출하였을 때, 이 제품 중 불량품의 개수를 확률변수 $\displaystyle X$라 하자. 확률변수 $\displaystyle X$는 이항분포 $\displaystyle \mathrm B(200,0.07)$을 따른다. 따라서 불량품의 개수의 기댓값은 $\displaystyle np=200\times0.07=14$이다.