자연계열 II 2번

【2-1】 (50점)○ 모범답안:중심의 좌표가 $\displaystyle (a,b)$이고 반지름이 $\displaystyle r$인 원 $\displaystyle C_1=\{(x,y)|(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\}$이 원 $\displaystyle C$의 내부에 있을 조건은$\displaystyle (*)\qquad\sqrt{a^2+b^2}+r<4$이고 점 $\displaystyle (2,0)$이 $\displaystyle C_1$ 내부에 있을 조건은$\displaystyle (**)\qquad\sqrt{(2-a)^2+b^2}<r$이다. (*)와 (**)에 의해서$\displaystyle \sqrt{(2-a)^2+b^2}<r<4-\sqrt{a^2+b^2}$을 얻을 수 있다. 즉 중심의 영역은 $\displaystyle \sqrt{(a-2)^2+b^2}+\sqrt{a^2+b^2}<4$인 타원의 내부이다. 타원의 방정식 $\displaystyle \sqrt{(a-2)^2+b^2}+\sqrt{a^2+b^2}=4$를 간단히 하면 $\displaystyle 3(a-1)^2+4b^2=12$가 된다. 이때 $\displaystyle 12-4b^2\ge0$이므로 $\displaystyle -\sqrt3\le b\le\sqrt3$이다. 따라서 정수인 $\displaystyle b$는 −1, 0 또는 1이 될 수 있고 이 중 $\displaystyle a$가 정수값을 가질 수 있는 $\displaystyle b$는 0이다. 따라서 영역 $\displaystyle F_1$의 경계선 위에 있는 점의 $\displaystyle x$좌표와 $\displaystyle y$좌표가 모두 정수인 점은 (3,0)와 (−1,0)이다.

【2-2】 (60점)○ 모범답안: 중심이 $\displaystyle (a,b)$이고 반지름이 $\displaystyle r$인 원 $\displaystyle C_2=\{(x,y)|(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\}$이 원 $\displaystyle C$의 외부에 있을 조건은$\displaystyle (*)\quad\sqrt{a^2+b^2}-r>4$이고 점 $\displaystyle (8,0)$이 $\displaystyle C_2$ 내부에 있을 조건은$\displaystyle (**)\quad\sqrt{(8-a)^2+b^2}<r$이다.(*)과 (**)에 의해서$\displaystyle \sqrt{(8-a)^2+b^2}<r<\sqrt{a^2+b^2}-4$를 얻을 수 있다. 즉, 중심의 영역은 $\displaystyle \sqrt{a^2+b^2}-\sqrt{(8-a)^2+b^2}>4$인 한쪽 쌍곡선의 내부이고 $\displaystyle F_2$의 경계는 $\displaystyle \sqrt{a^2+b^2}-\sqrt{(8-a)^2+b^2}=4$인 곡선이다. 등식을 간단히 하면 $\displaystyle 3(a-4)^2-b^2=12\ (a>4)$이다.쌍곡선의 정의를 이용하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{OP_1}}+\overline{\mathrm{P_1P_2}}-\overline{\mathrm{Q_2P_2}}=4$이고 타원의 정의를 이용하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{OP_1}}+\overline{\mathrm{Q_1P_1}}=4$이다. 두 식을 빼면 $\displaystyle \overline{\mathrm{P_1P_2}}-\overline{\mathrm{Q_2P_2}}-\overline{\mathrm{Q_1P_1}}=0$을 구할 수 있다. 이에 따라 $\displaystyle \overline{\mathrm{Q_1P_1}}:\overline{\mathrm{Q_2P_2}}=\overline{\mathrm{P_1P}}:\overline{\mathrm{PP_2}}$를 만족시키는 $\displaystyle \overline{\mathrm{P_1P_2}}$ 위의 점 P에 대하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}}=\overline{\mathrm{OP_1}}+\overline{\mathrm{P_1P}}=\overline{\mathrm{OP_1}}+\overline{\mathrm{Q_1P_1}}=4$가 된다. 즉, 점 P의 자취는 반지름이 4이고 각도가 $\displaystyle 30^\circ$인 호가 되며 이 길이는 $\displaystyle \frac{2\pi}3$이다.