경북대 2020학년도 모의 자연계열 II 2번 해설

[2] 다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 반지름의 길이가 $\displaystyle r$ 이고 중심이 $\displaystyle (a,b)$ 인 원의 방정식은 $\displaystyle (x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ 이다.

(나)(1) 부등식 $\displaystyle x^2+y^2<r^2$ 의 영역은 원 $\displaystyle x^2+y^2=r^2$ 의 내부이다.(2) 부등식 $\displaystyle x^2+y^2>r^2$ 의 영역은 원 $\displaystyle x^2+y^2=r^2$ 의 외부이다.

(다) 좌표평면 위를 움직이는 점 P의 시각 $\displaystyle t$ 에서의 위치 $\displaystyle (x,y)$ 가 $\displaystyle x=f(t),\ y=g(t)$ 로 주어질 때, $\displaystyle t=a$ 에서 $\displaystyle t=b$ 까지 점 P의 이동거리 $\displaystyle s$ 는 $\displaystyle s=\int_a^b\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt$ 이다.

※ 모든 문항에서 풀이과정을 반드시 기술하시오.

좌표평면에서 중심이 원점 O이고 반지름의 길이가 4인 원을 $\displaystyle C$ 라 하자. 두 점 $\displaystyle \mathrm Q_1(2,0),\ \mathrm Q_2(8,0)$ 에 대하여 다음 물음에 답하시오.

【2-1】 다음 조건을 만족시키는 점 A가 나타내는 부분을 영역 $\displaystyle F_1$ 이라 하자.

<조건>중심이 A인 원이 점 $\displaystyle \mathrm Q_1$ 을 내부에 포함하고 원 $\displaystyle C$ 의 내부에 있다.

영역 $\displaystyle F_1$ 의 경계선 위에 있는 점의 $\displaystyle x$ 좌표와 $\displaystyle y$ 좌표가 모두 정수인 점을 모두 구하시오. (50점)

【2-2】 다음 조건을 만족시키는 점 B가 나타내는 부분을 영역 $\displaystyle F_2$ 라 하자.

<조건>중심이 B인 원이 점 $\displaystyle \mathrm Q_2$ 를 내부에 포함하고 $\displaystyle C$ 의 외부에 있다.

원점을 지나면서 기울기가 0 이상이고 $\displaystyle \frac{\sqrt3}3$ 이하인 임의의 직선이 영역 $\displaystyle F_2$ 의 경계선과 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm P_2$ 라 하자. 선분 $\displaystyle \overline{\mathrm{OP_2}}$ 와 문제 【2-1】에서 정의한 영역 $\displaystyle F_1$ 의 경계선이 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm P_1$ 이라 할 때, $\displaystyle \overline{\mathrm{Q_1P_1}}:\overline{\mathrm{Q_2P_2}}=\overline{\mathrm{P_1P}}:\overline{\mathrm{PP_2}}$ 를 만족하는 선분 $\displaystyle \overline{\mathrm{P_1P_2}}$ 위의 점 P가 그리는 곡선의 길이를 구하시오. (60점)

경북대 2020학년도 모의 자연계열 II 2번 · mathesis.kr/archive/knu/2020mo/jayeon2_2

【2-1】 (50점)○ 모범답안:중심의 좌표가 $\displaystyle (a,b)$ 이고 반지름이 $\displaystyle r$ 인 원 $\displaystyle C_1=\{(x,y)|(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\}$ 이 원 $\displaystyle C$ 의 내부에 있을 조건은 $\displaystyle (*)\qquad\sqrt{a^2+b^2}+r<4$ 이고 점 $\displaystyle (2,0)$ 이 $\displaystyle C_1$ 내부에 있을 조건은 $\displaystyle (**)\qquad\sqrt{(2-a)^2+b^2}<r$ 이다. (*)와 (**)에 의해서 $\displaystyle \sqrt{(2-a)^2+b^2}<r<4-\sqrt{a^2+b^2}$ 을 얻을 수 있다. 즉 중심의 영역은 $\displaystyle \sqrt{(a-2)^2+b^2}+\sqrt{a^2+b^2}<4$ 인 타원의 내부이다. 타원의 방정식 $\displaystyle \sqrt{(a-2)^2+b^2}+\sqrt{a^2+b^2}=4$ 를 간단히 하면 $\displaystyle 3(a-1)^2+4b^2=12$ 가 된다. 이때 $\displaystyle 12-4b^2\ge0$ 이므로 $\displaystyle -\sqrt3\le b\le\sqrt3$ 이다. 따라서 정수인 $\displaystyle b$ 는 −1, 0 또는 1이 될 수 있고 이 중 $\displaystyle a$ 가 정수값을 가질 수 있는 $\displaystyle b$ 는 0이다. 따라서 영역 $\displaystyle F_1$ 의 경계선 위에 있는 점의 $\displaystyle x$ 좌표와 $\displaystyle y$ 좌표가 모두 정수인 점은 (3,0)와 (−1,0)이다.

【2-2】 (60점)○ 모범답안: 중심이 $\displaystyle (a,b)$ 이고 반지름이 $\displaystyle r$ 인 원 $\displaystyle C_2=\{(x,y)|(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\}$ 이 원 $\displaystyle C$ 의 외부에 있을 조건은 $\displaystyle (*)\quad\sqrt{a^2+b^2}-r>4$ 이고 점 $\displaystyle (8,0)$ 이 $\displaystyle C_2$ 내부에 있을 조건은 $\displaystyle (**)\quad\sqrt{(8-a)^2+b^2}<r$ 이다.(*)과 (**)에 의해서 $\displaystyle \sqrt{(8-a)^2+b^2}<r<\sqrt{a^2+b^2}-4$ 를 얻을 수 있다. 즉, 중심의 영역은 $\displaystyle \sqrt{a^2+b^2}-\sqrt{(8-a)^2+b^2}>4$ 인 한쪽 쌍곡선의 내부이고 $\displaystyle F_2$ 의 경계는 $\displaystyle \sqrt{a^2+b^2}-\sqrt{(8-a)^2+b^2}=4$ 인 곡선이다. 등식을 간단히 하면 $\displaystyle 3(a-4)^2-b^2=12\ (a>4)$ 이다.쌍곡선의 정의를 이용하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{OP_1}}+\overline{\mathrm{P_1P_2}}-\overline{\mathrm{Q_2P_2}}=4$ 이고 타원의 정의를 이용하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{OP_1}}+\overline{\mathrm{Q_1P_1}}=4$ 이다. 두 식을 빼면 $\displaystyle \overline{\mathrm{P_1P_2}}-\overline{\mathrm{Q_2P_2}}-\overline{\mathrm{Q_1P_1}}=0$ 을 구할 수 있다. 이에 따라 $\displaystyle \overline{\mathrm{Q_1P_1}}:\overline{\mathrm{Q_2P_2}}=\overline{\mathrm{P_1P}}:\overline{\mathrm{PP_2}}$ 를 만족시키는 $\displaystyle \overline{\mathrm{P_1P_2}}$ 위의 점 P에 대하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}}=\overline{\mathrm{OP_1}}+\overline{\mathrm{P_1P}}=\overline{\mathrm{OP_1}}+\overline{\mathrm{Q_1P_1}}=4$ 가 된다. 즉, 점 P의 자취는 반지름이 4이고 각도가 $\displaystyle 30^\circ$ 인 호가 되며 이 길이는 $\displaystyle \frac{2\pi}3$ 이다.

하위 문항	채점 기준	배점
2-1	중심의 좌표가 $\displaystyle (a,b)$ 이고 반지름이 $\displaystyle r$ 인 원 $\displaystyle C_1=\{(x,y)\|(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\}$ 이 원 $\displaystyle C$ 의 내부에 있을 조건이 $\displaystyle \sqrt{a^2+b^2}+r<4$ 라는 것을 구한다.	10
	점 $\displaystyle (2,0)$ 이 $\displaystyle C_1$ 내부에 있을 조건이 $\displaystyle \sqrt{(2-a)^2+b^2}<r$ 라는 것을 구한다.	10
	중심의 영역은 타원의 내부라는 것을 안다.	10
	중심의 영역은 $\displaystyle \sqrt{(a-2)^2+b^2}+\sqrt{a^2+b^2}<4$ 인 타원의 내부라는 것을 안다.	10
	영역 $\displaystyle F_1$ 의 경계선 위에 있는 점의 $\displaystyle x$ 좌표와 $\displaystyle y$ 좌표가 모두 정수인 점은 $\displaystyle (3,0)$ 와 $\displaystyle (-1,0)$ 이라는 것을 구한다.	10
2-2	중심이 $\displaystyle (a,b)$ 이고 반지름이 $\displaystyle r$ 인 원 $\displaystyle C_2=\{(x,y)\|(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\}$ 이 원 $\displaystyle C$ 의 외부에 있을 조건은 $\displaystyle \sqrt{a^2+b^2}-r>4$ 이라는 것을 구한다.	10
	점 $\displaystyle (8,0)$ 이 $\displaystyle C_2$ 내부에 있을 조건이 $\displaystyle \sqrt{(8-a)^2+b^2}<r$ 라는 것을 구한다.	10
	중심의 영역이 쌍곡선의 한쪽 내부라는 것을 안다.	5
	중심의 영역은 $\displaystyle \sqrt{a^2+b^2}-\sqrt{(8-a)^2+b^2}>4$ 인 한쪽 쌍곡선의 내부라는 것을 구한다.	5
	쌍곡선의 정의를 이용하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{OP_1}}+\overline{\mathrm{P_1P_2}}-\overline{\mathrm{Q_2P_2}}=4$ 이고 타원의 정의를 이용하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{OP_1}}+\overline{\mathrm{Q_1P_1}}=4$ 이라는 것을 안다.	10
	점 P에 대하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}}=\overline{\mathrm{OP_1}}+\overline{\mathrm{P_1P}}=\overline{\mathrm{OP_1}}+\overline{\mathrm{Q_1P_1}}=4$ 라는 것을 구한다.	10
	점 P가 그리는 곡선의 길이가 $\displaystyle \frac{2\pi}3$ 이라는 것을 구한다.	10

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자연계열 II 2번

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