자연계열 I 2번

【2-1】 (20점)○ 모범답안: 이차함수 $\displaystyle f(x)$가 최댓값 0을 가지므로 최고차항의 계수는 $\displaystyle \frac1{2a}$은 음수이고 $\displaystyle f(x)$의 판별식은 0이다. 즉,

$\displaystyle a<0,\ D=(a-1)^2-\frac4{2a}(a-1)=\frac{(a+1)(a-1)(a-2)}a=0$

이다. 따라서 $\displaystyle a=-1$이다.

【2-2】 (40점)○ 모범답안: $\displaystyle a<0$인 경우, 이차함수 $\displaystyle f(x)$는 반드시 어떤 구간에서 음수 값을 갖는다. 따라서 제시문 (나)에 의해 $\displaystyle F(x)$는 이 구간에서 감소함을 알 수 있다.

$\displaystyle a>0$이므로 삼차함수 $\displaystyle F(x)$가 실수 전체에서 증가하기 위한 필요충분조건은 다음과 같다.모든 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f(x)\ge0$이차함수 $\displaystyle f(x)$의 최고차항의 계수가 양수이므로 위 조건을 만족시키기 위한 필요충분조건은$\displaystyle D=\frac{(a+1)(a-1)(a-2)}a\le0$이다.

부등식 $\displaystyle a>0$을 동시에 만족시키는 최대 범위는 $\displaystyle 1\le a\le2$이다.

따라서 $\displaystyle \beta-\alpha$의 최댓값은 1이다.

【2-3】 (50점)○ 모범답안: $\displaystyle a\in(2,3)$인 경우, $\displaystyle f(x)$의 판별식 $\displaystyle D$는 양수이므로 이차방정식 $\displaystyle f(x)=0$은 서로 다른 두 실근$\displaystyle x_1=\frac{-(a-1)-\sqrt{\frac{(a+1)(a-1)(a-2)}a}}{\frac1a},\ x_2=\frac{-(a-1)+\sqrt{\frac{(a+1)(a-1)(a-2)}a}}{\frac1a}$를 갖는다.

또한 $\displaystyle x_1=b,x_2=c$라 하면 함수 $\displaystyle F(x)$는 구간 $\displaystyle (b,c)$에서 감소하고 구간 $\displaystyle (-\infty,b),\ (c,\infty)$에서 증가하므로 조건 (i)를 만족한다.

조건 (ii)는 다음과 같다.$\displaystyle 2\sqrt{(a+1)a(a-1)(a-2)}=c-b=\frac{97}{10}$, 즉 $\displaystyle (a+1)a(a-1)(a-2)=\left(\frac{97}{20}\right)^2=\frac{9409}{400}$

이제 $\displaystyle g(a)=(a+1)a(a-1)(a-2)$라 하자. 그러면 함수 $\displaystyle g(a)$는 실수 전체에서 연속이고 $\displaystyle g(2)=0<\frac{9409}{400}<\frac{9600}{400}=24=g(3)$이므로 제시문 (다)에 의해 등식 $\displaystyle g(a)=\frac{9409}{400}$를 만족시키는 실수 $\displaystyle a$가 구간 $\displaystyle (2,3)$에 적어도 하나 존재한다. 따라서 주어진 조건을 만족하는 실수 $\displaystyle a$가 구간 $\displaystyle (2,3)$에 적어도 하나 존재한다.