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자연계열 I 2번

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경북대 2021학년도 모의 자연계열 I 2번 · mathesis.kr/archive/knu/2021mo/jayeon1_2

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문제

[2] 다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 x=a\displaystyle x=a에서 미분가능할 때, 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x) 위의 점 (a,f(a))\displaystyle (a,f(a))에서의 접선의 방정식은y−f(a)=f′(a)(x−a)\displaystyle y-f(a)=f^{\prime}(a)(x-a)이다.

(나) 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 닫힌구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속일 때, 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x)와 x\displaystyle x축 및 두 직선 x=a,x=b\displaystyle x=a,x=b로 둘러싸인 부분의 넓이 S\displaystyle S는S=∫ab∣f(x)∣ dx\displaystyle S=\int_a^b|f(x)|\,dx이다.

(다) 닫힌구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속인 도함수를 갖는 두 함수 f(x),g(x)\displaystyle f(x),g(x)에 대하여∫abf(x)g′(x) dx=[f(x)g(x)]ab−∫abf′(x)g(x) dx\displaystyle \int_a^bf(x)g^{\prime}(x)\,dx=\Biggl[f(x)g(x)\Biggr]_a^b-\int_a^bf^{\prime}(x)g(x)\,dx이다.

(라) 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 임의의 실수 a,b,c\displaystyle a,b,c를 포함하는 구간에서 연속일 때,∫acf(x) dx+∫cbf(x) dx=∫abf(x) dx\displaystyle \int_a^cf(x)\,dx+\int_c^bf(x)\,dx=\int_a^bf(x)\,dx이다.

※ 모든 문항에서 풀이과정을 반드시 기술하시오.

곡선C:y=xln⁡x+x2(x>0)\displaystyle C:y=x\ln x+\frac x2\quad(x>0)위의 점 (xn,yn)\displaystyle (x_n,y_n)에서의 접선과 y\displaystyle y축과의 교점을 (0,an)\displaystyle (0,a_n)이라 하자. 또한, 곡선 C\displaystyle C와 x\displaystyle x축 및 두 직선 x=xn,x=xn+1\displaystyle x=x_n,x=x_{n+1}로 둘러싸인 부분의 넓이를 An\displaystyle A_n이라 하자. 수열 {an}\displaystyle \{a_n\}의 일반항이 an=−rn−1\displaystyle a_n=-r^{n-1}일 때, 다음 물음에 답하시오. (단, r\displaystyle r은 1보다 큰 상수이고, n\displaystyle n은 자연수이다.)

【2-1】 ln⁡x21ln⁡x20\displaystyle \frac{\ln x_{21}}{\ln x_{20}}의 값을 구하시오. (30점)

【2-2】 1r2−1(A20r38ln⁡r−12)\displaystyle \frac1{r^2-1}\left(\frac{A_{20}}{r^{38}\ln r}-\frac12\right)의 값을 구하시오. (30점)

【2-3】 20 이하인 자연수 m\displaystyle m에 대하여Bm=∑n=m20Anln⁡r\displaystyle B_m=\sum_{n=m}^{20}\frac{A_n}{\ln r}이라 하자. 다음 물음에 답하시오.

(1) B12r40\displaystyle \frac{B_1}{2r^{40}}의 값을 구하시오. (30점)

(2) ∑m=120(B1−Bmr2m−2)\displaystyle \sum_{m=1}^{20}\left(\frac{B_1-B_m}{r^{2m-2}}\right)의 값을 구하시오. (30점)

해설강의 준비중

경북대 2021학년도 모의 자연계열 I 2번 · mathesis.kr/archive/knu/2021mo/jayeon1_2

+10점 · 접선의 방정식 y−yn=(ln⁡xn+32)(x−xn)\displaystyle y-y_n=\left(\ln x_n+\frac32\right)(x-x_n)을 구한다.

【2-1】 (30점)○ 예시 답안: f(x)=xln⁡x+x2\displaystyle f(x)=x\ln x+\frac x2라 두면, f′(x)=ln⁡x+32\displaystyle f^{\prime}(x)=\ln x+\frac32이므로 곡선 C\displaystyle C위의 점 (xn,yn)\displaystyle (x_n,y_n)에서의 접선의 방정식은y−yn=(ln⁡xn+32)(x−xn)\displaystyle y-y_n=\left(\ln x_n+\frac32\right)(x-x_n)이다. 이 접선과 y\displaystyle y축과의 교점이 (0,an)\displaystyle (0,a_n)이므로, 다음 등식을 얻는다.an−yn=(ln⁡xn+32)(−xn)\displaystyle a_n-y_n=\left(\ln x_n+\frac32\right)(-x_n)

+10점 · xn=rn−1\displaystyle x_n=r^{n-1}을 구한다.

한편, 수열 {an}\displaystyle \{a_n\}은 첫째항이 −1, 공비가 r\displaystyle r인 등비수열이므로 an=−rn−1\displaystyle a_n=-r^{n-1}이고, yn=f(xn)=xnln⁡xn+xn2\displaystyle y_n=f(x_n)=x_n\ln x_n+\frac{x_n}2이므로 이를 위 식에 대입하여 정리하면 xn=rn−1\displaystyle x_n=r^{n-1}을 얻는다.

+10점 · ln⁡x21ln⁡x20=2019\displaystyle \frac{\ln x_{21}}{\ln x_{20}}=\frac{20}{19}을 구한다.

이로부터 ln⁡xn=(n−1)ln⁡r\displaystyle \ln x_n=(n-1)\ln r이다. 따라서 ln⁡x21ln⁡x20=20ln⁡r19ln⁡r=2019\displaystyle \frac{\ln x_{21}}{\ln x_{20}}=\frac{20\ln r}{19\ln r}=\frac{20}{19}이다.

+10점 · An=∫rn−1rn(xln⁡x+x2)dx\displaystyle A_n=\int_{r^{n-1}}^{r^n}\left(x\ln x+\frac x2\right)dx 또는 A20=∫r19r20(xln⁡x+x2)dx\displaystyle A_{20}=\int_{r^{19}}^{r^{20}}\left(x\ln x+\frac x2\right)dx를 구한다.

【2-2】 (30점)○ 예시 답안: (2-1)의 풀이과정에서 얻은 결과를 바탕으로 An\displaystyle A_n을 다음과 같이 구할 수 있다.An=∫xnxn+1∣f(x)∣ dx=∫rn−1rn∣xln⁡x+x2∣dx=∫rn−1rn(xln⁡x+x2)dx\displaystyle A_n=\int_{x_n}^{x_{n+1}}|f(x)|\,dx=\int_{r^{n-1}}^{r^n}\left|x\ln x+\frac x2\right|dx=\int_{r^{n-1}}^{r^n}\left(x\ln x+\frac x2\right)dx이를 부분적분법을 이용해 계산하면An=∫rn−1rn(xln⁡x+x2)dx=[12x2ln⁡x]rn−1rn=12(r2nln⁡rn−r2n−2ln⁡rn−1)=12{nr2−(n−1)}r2n−2ln⁡r\displaystyle \begin{aligned}A_n&=\int_{r^{n-1}}^{r^n}\left(x\ln x+\frac x2\right)dx=\Biggl[\frac12x^2\ln x\Biggr]_{r^{n-1}}^{r^n}\\&=\frac12(r^{2n}\ln r^n-r^{2n-2}\ln r^{n-1})=\frac12\{nr^2-(n-1)\}r^{2n-2}\ln r\end{aligned}이다.

+10점 · A20=12(20r2−19)r38ln⁡r\displaystyle A_{20}=\frac12(20r^2-19)r^{38}\ln r를 구한다.

이로부터 A20=12(20r2−19)r38ln⁡r\displaystyle A_{20}=\frac12(20r^2-19)r^{38}\ln r이다.

+10점 · 1r2−1(A20r38ln⁡r−12)=10\displaystyle \frac1{r^2-1}\left(\frac{A_{20}}{r^{38}\ln r}-\frac12\right)=10을 구한다.

따라서 1r2−1(A20r38ln⁡r−12)=1r2−1{12(20r2−19)−12}=10(r2−1)r2−1=10\displaystyle \frac1{r^2-1}\left(\frac{A_{20}}{r^{38}\ln r}-\frac12\right)=\frac1{r^2-1}\left\{\frac12(20r^2-19)-\frac12\right\}=\frac{10(r^2-1)}{r^2-1}=10이다.

+15점 · (1) B1=1ln⁡r∫1r20(xln⁡x+x2)dx\displaystyle B_1=\frac1{\ln r}\int_1^{r^{20}}\left(x\ln x+\frac x2\right)dx를 구한다.

【2-3】 (60점)(1) (30점)○ 예시 답안: (2-2)의 풀이과정에서 얻은 식 An=∫rn−1rn(xln⁡x+x2)dx\displaystyle A_n=\int_{r^{n-1}}^{r^n}\left(x\ln x+\frac x2\right)dx와 제시문 (라)를 이용하면,B1=∑n=120Anln⁡r=1ln⁡r∑n=120An=1ln⁡r∑n=120∫rn−1rn(xln⁡x+x2)dx=1ln⁡r∫1r20(xln⁡x+x2)dx=1ln⁡r[12x2ln⁡x]1r20=10r40\displaystyle \begin{aligned}B_1&=\sum_{n=1}^{20}\frac{A_n}{\ln r}=\frac1{\ln r}\sum_{n=1}^{20}A_n=\frac1{\ln r}\sum_{n=1}^{20}\int_{r^{n-1}}^{r^n}\left(x\ln x+\frac x2\right)dx\\&=\frac1{\ln r}\int_1^{r^{20}}\left(x\ln x+\frac x2\right)dx=\frac1{\ln r}\Biggl[\frac12x^2\ln x\Biggr]_1^{r^{20}}=10r^{40}\end{aligned}이다.

+15점 · (1) B12r40=5\displaystyle \frac{B_1}{2r^{40}}=5를 구한다.

따라서 B12r40=5\displaystyle \frac{B_1}{2r^{40}}=5이다.

+10점 · (2) Bm=10r40−m−12r2m−2\displaystyle B_m=10r^{40}-\frac{m-1}2r^{2m-2}을 구한다.

(2) (30점)○ 예시 답안: (2-2)의 풀이과정에서 얻은 식 An=∫rn−1rn(xln⁡x+x2)dx\displaystyle A_n=\int_{r^{n-1}}^{r^n}\left(x\ln x+\frac x2\right)dx와 제시문 (라)를 이용하면,Bm=∑n=m20Anln⁡r=1ln⁡r∑n=m20An=1ln⁡r∑n=m20∫rn−1rn(xln⁡x+x2)dx=1ln⁡r∫rm−1r20(xln⁡x+x2)dx=1ln⁡r[12x2ln⁡x]rm−1r20=10r40−m−12r2m−2\displaystyle \begin{aligned}B_m&=\sum_{n=m}^{20}\frac{A_n}{\ln r}=\frac1{\ln r}\sum_{n=m}^{20}A_n=\frac1{\ln r}\sum_{n=m}^{20}\int_{r^{n-1}}^{r^n}\left(x\ln x+\frac x2\right)dx\\&=\frac1{\ln r}\int_{r^{m-1}}^{r^{20}}\left(x\ln x+\frac x2\right)dx=\frac1{\ln r}\Biggl[\frac12x^2\ln x\Biggr]_{r^{m-1}}^{r^{20}}=10r^{40}-\frac{m-1}2r^{2m-2}\end{aligned}이다.

+10점 · (2) B1−Bm=m−12r2m−2\displaystyle B_1-B_m=\frac{m-1}2r^{2m-2}을 구한다.

(2-3) (1)에서 구한 B1=10r40\displaystyle B_1=10r^{40}으로부터 B1−Bm=m−12r2m−2\displaystyle B_1-B_m=\frac{m-1}2r^{2m-2}임을 알 수 있다.

+10점 · (2) ∑m=120(B1−Bmr2m−2)=95\displaystyle \sum_{m=1}^{20}\left(\frac{B_1-B_m}{r^{2m-2}}\right)=95를 구한다.

따라서∑m=120(B1−Bmr2m−2)=∑m=120(m−12)=12∑m=120(m−1)=12(20×212−20)=95\displaystyle \sum_{m=1}^{20}\left(\frac{B_1-B_m}{r^{2m-2}}\right)=\sum_{m=1}^{20}\left(\frac{m-1}2\right)=\frac12\sum_{m=1}^{20}(m-1)=\frac12\left(\frac{20\times21}2-20\right)=95이다.

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