자연계열 II 2번

【2-1】 (30점)○ 예시 답안:주어진 조건과 제시문 (가)를 이용하면$\displaystyle f^{\prime}(x)=3ax^2+2bx+c=3a(x+m)(x-m)=3ax^2-3am^2$이다. 좌변과 우변의 계수를 비교하면 $\displaystyle b=0,c=-3am^2$이므로 $\displaystyle f(x)=ax^3-3am^2x+n$이다.

주어진 조건을 이용하면$\displaystyle f(m)=-2am^3+n=m^3+n$이므로 $\displaystyle a=-\frac12$이다.

따라서 $\displaystyle f(x)=-\frac12x^3+\frac32m^2x+n$이고$\displaystyle \frac{4ac}{m^2}=\frac{4\times\left(-\frac12\right)\times\frac32m^2}{m^2}=-3$이다.

【2-2】 (90점)○ 예시 답안:(1)주어진 도형의 내부 또는 경계에서 직선 $\displaystyle x=i$($\displaystyle i$는 $\displaystyle 0\le i\le m$인 정수)위의 $\displaystyle y$좌표가 정수인 점의 개수를 $\displaystyle L_i$라 하자.자연수 $\displaystyle k$에 대하여, $\displaystyle m=2k-1$이면$\displaystyle f(i)=-\frac12i^3+\frac32(2k-1)^2i+n=\frac i2(-i^2+3(2k-1)^2)+n$이다. 여기서 $\displaystyle i$가 짝수이면 $\displaystyle \frac i2$가 정수이므로 $\displaystyle -\frac12i^3+\frac32(2k-1)^2i$는 정수이고, $\displaystyle i$가 홀수이면 $\displaystyle -i^2+3(2k-1)^2$은 짝수이므로 $\displaystyle -\frac12i^3+\frac32(2k-1)^2i$는 정수이다. 즉, $\displaystyle f(i)$는 정수이다.

따라서$\displaystyle L_i=-\frac12i^3-(2k-1)i^2+\frac32(2k-1)^2i+1$이고

$\displaystyle \begin{aligned}B_m=B_{2k-1}&=\sum_{i=0}^{2k-1}L_i=\sum_{i=0}^{2k-1}\left(-\frac12i^3-(2k-1)i^2+\frac32(2k-1)^2i+1\right)\\&=-\frac12\left\{\frac{(2k-1)2k}2\right\}^2-(2k-1)\times\frac{(2k-1)2k(4k-1)}6+\frac32(2k-1)^2\times\frac{(2k-1)2k}2+2k\\&=\frac{k(28k^3-56k^2+35k+5)}6\end{aligned}$이다. 즉$\displaystyle \frac{(p-q)r}s=\frac{(28+56)35}5=588$이다.

(2)주어진 도형의 내부 또는 경계에서 직선 $\displaystyle x=i$($\displaystyle i$는 $\displaystyle 0\le i\le m$인 정수)위의 $\displaystyle y$좌표가 정수인 점의 개수를 $\displaystyle L_i$라 하면$\displaystyle \begin{aligned}-\frac12i^3-mi^2+\frac32m^2i&=-\frac12i^3+\frac32m^2i+n-(mi^2+n)\le L_i\\&\le-\frac12i^3+\frac32m^2i+n-(mi^2+n)+1=-\frac12i^3-mi^2+\frac32m^2i+1\end{aligned}$이다. 따라서

$\displaystyle \begin{aligned}-\frac12\left\{\frac{m(m+1)}2\right\}^2-m\times\frac{m(m+1)(2m+1)}6+\frac32m^2\times\frac{m(m+1)}2&\le B_m=\sum_{i=0}^mL_i\\&\le-\frac12\left\{\frac{m(m+1)}2\right\}^2-m\times\frac{m(m+1)(2m+1)}6+\frac32m^2\times\frac{m(m+1)}2+m+1\end{aligned}$이고, 이 부등식에서 가장 왼쪽 값을 $\displaystyle C_m$, 가장 오른쪽 값을 $\displaystyle D_m$이라 하자.

또한$\displaystyle A_m=\int_0^m\left(-\frac12x^3+\frac32m^2x-mx^2\right)dx=-\frac18m^4+\frac34m^4-\frac13m^4=\frac{-3+18-8}{24}m^4=\frac7{24}m^4$이다. 부등식

$\displaystyle \frac{C_m}{A_m}\le\frac{B_m}{A_m}\le\frac{D_m}{A_m}$에서$\displaystyle \lim_{m\to\infty}\frac{C_m}{A_m}=\lim_{m\to\infty}\frac{D_m}{A_m}=1$이므로 제시문 (라)에 의하여 수열 $\displaystyle \left\{\frac{B_m}{A_m}\right\}$이 1로 수렴한다.