자연계열 I 3번

【3-1】 (30점)○ 예시 답안: $\displaystyle x^2-2P_6x+Q_6=0$의 해의 개수 $\displaystyle X$는 $\displaystyle P_6$과 $\displaystyle Q_6$에 따라 0,1, 그리고 2의 값을 갖는다.$\displaystyle X=0$이 되는 사건의 조건은 $\displaystyle P_6^2-Q_6<0$이고 이 조건을 만족시키는 순서쌍 $\displaystyle (P_6,Q_6)$은 $\displaystyle (1,2),\ (1,3),\ \cdots,\ (1,6),\ (2,5),\ (2,6)$이다. 각 순서쌍이 나올 확률이 $\displaystyle \frac1{36}$이므로, $\displaystyle \mathrm P(X=0)=\frac7{36}$이 된다.같은 방법으로, $\displaystyle X=1$이 되는 사건의 조건은 $\displaystyle P_6^2-Q_6=0$이고 이를 만족하는 순서쌍 $\displaystyle (P_6,Q_6)$은 $\displaystyle (1,1),\ (2,4)$이므로 $\displaystyle \mathrm P(X=1)=\frac2{36}$이 되며, 나머지 $\displaystyle X=2$가 되는 사건의 확률은 $\displaystyle \mathrm P(X=2)=\frac{27}{36}$이 된다.

따라서 확률변수 $\displaystyle X$의 기댓값은$\displaystyle \mathrm E(X)=0\times\frac7{36}+1\times\frac2{36}+2\times\frac{27}{36}=\frac{14}9$이다.

【3-2】 (40점)○ 예시 답안: 이차방정식 $\displaystyle x^2-2P_6x+Q_6=0$이 서로 다른 두 실근을 갖기 위한 조건은 $\displaystyle P_6^2-Q_6>0$이다. 이 조건을 만족시키는 순서쌍 $\displaystyle (P_6,Q_6)$의 집합을 $\displaystyle A$라고 하면,$\displaystyle \begin{aligned}A=\{&(2,1),\ (2,2),\ (2,3),\ (3,1),\ \cdots,\ (3,6),\\&(4,1),\ \cdots,\ (4,6),\ (5,1),\ \cdots,\ (5,6),\ (6,1),\ \cdots,\ (6,6)\}\end{aligned}$이 된다.

서로 다른 두 실근이 존재할 때, 두 근을 $\displaystyle \alpha$와 $\displaystyle \beta$라고 하면, $\displaystyle \alpha+\beta=2P_6$이고 $\displaystyle \alpha\beta=Q_6$이 된다. $\displaystyle |\alpha-\beta|>4\Leftrightarrow|\alpha-\beta|^2>16$이고 $\displaystyle |\alpha-\beta|^2=4P_6^2-4Q_6$이므로, 두 근의 차가 4보다 크게 될 조건은 $\displaystyle 4P_6^2-4Q_6>16$, 즉, $\displaystyle Q_6<P_6^2-4$가 된다. 이 조건을 만족시키는 순서쌍 $\displaystyle (P_6,Q_6)$의 집합을 $\displaystyle B$라 하면,$\displaystyle B=\{(3,1),\ (3,2),\ (3,3),\ (3,4),\ (4,1),\ \cdots,\ (4,6),\ (5,1),\ \cdots,\ (5,6),\ (6,1),\ \cdots,\ (6,6)\}$이 된다.

따라서 구하는 확률은 다음의 조건부확률$\displaystyle \mathrm P(B|A)=\frac{\mathrm P(B\cap A)}{\mathrm P(A)}=\frac{\frac{22}{36}}{\frac{27}{36}}=\frac{22}{27}$이다.

【3-3】 (50점)○ 예시 답안: $\displaystyle P_{n^2}$과 $\displaystyle Q_{n^2}$을 각각 $\displaystyle P$와 $\displaystyle Q$로 표기하면, $\displaystyle P$와 $\displaystyle Q$는 $\displaystyle \frac1{n^2}$의 확률로 1부터 $\displaystyle n^2$까지 자연수의 값을 갖는 확률변수이다. 주어진 함수의 최솟값이 $\displaystyle -P^2+Q$이므로, 문제의 조건은 $\displaystyle -P^2+Q>n$, 즉, $\displaystyle Q>P^2+n$이 된다. 이 조건을 만족시키는 $\displaystyle P$와 $\displaystyle Q$는 다음과 같이 구할 수 있다.$\displaystyle \begin{gathered}P=1\text{일 때},\ Q=n+2,\ \cdots,\ n^2\\P=2\text{일 때},\ Q=n+5,\ \cdots,\ n^2\\\vdots\\P=k\text{일 때},\ Q=n+k^2+1,\ \cdots,\ n^2\\\vdots\\P=n-1\text{일 때},\ Q=n+(n-1)^2+1,\ \cdots,\ n^2\end{gathered}$

따라서 $\displaystyle -P^2+Q>n$을 만족시키는 순서쌍 $\displaystyle (P,Q)$의 개수는$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}(n^2-n-k^2)=(n^2-n)(n-1)-\frac{n(n-1)(2n-1)}6=n(n-1)\left(\frac23n-\frac56\right)$

이고 각각의 순서쌍에 주어진 확률이 $\displaystyle \frac1{n^4}$이므로,$\displaystyle \mathrm P(E_n)=\frac1{n^4}\sum_{k=1}^{n-1}(n^2-n-k^2)=\frac{n(n-1)}{n^4}\left(\frac23n-\frac56\right)$

이 된다. 따라서 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}n\mathrm P(E_n)=\frac23$이다.