수리논술, 이게 다다.

자연계열 I 3번

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경북대 2021학년도 모의 자연계열 I 3번 · mathesis.kr/archive/knu/2021mo/jayeon1_3

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[3] 다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 이산확률변수 X\displaystyle X의 확률분포가 다음과 같다.<table><thead><tr><th>X\displaystyle X</th><th>x1\displaystyle x_1</th><th>x2\displaystyle x_2</th><th>⋯\displaystyle \cdots</th><th>xk\displaystyle x_k</th><th>⋯\displaystyle \cdots</th><th>xn\displaystyle x_n</th><th>합계</th></tr></thead><tbody><tr><td>P(X=xi)\displaystyle \mathrm P(X=x_i)</td><td>p1\displaystyle p_1</td><td>p2\displaystyle p_2</td><td>⋯\displaystyle \cdots</td><td>pk\displaystyle p_k</td><td>⋯\displaystyle \cdots</td><td>pn\displaystyle p_n</td><td>1</td></tr></tbody></table>이때, 확률변수 X\displaystyle X의 기댓값은E(X)=∑k=1nxkpk\displaystyle \mathrm E(X)=\sum_{k=1}^nx_kp_k이다.

(나) 두 사건 A\displaystyle A와 B\displaystyle B에 대하여, 사건 B\displaystyle B가 일어났을 때의 사건 A\displaystyle A의 조건부확률은P(A∣B)=P(A∩B)P(B)\displaystyle \mathrm P(A\mid B)=\frac{\mathrm P(A\cap B)}{\mathrm P(B)}이다.

(다)(1) ∑k=1nk=n(n+1)2\displaystyle \sum_{k=1}^nk=\frac{n(n+1)}2(2) ∑k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6\displaystyle \sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6(3) ∑k=1nk3={n(n+1)2}2\displaystyle \sum_{k=1}^nk^3=\left\{\frac{n(n+1)}2\right\}^2

※ 모든 문항에서 풀이과정을 반드시 기술하시오.

자연수 k\displaystyle k에 대하여, 1부터 k\displaystyle k까지의 자연수가 각각 적힌 k\displaystyle k장의 카드가 들어 있는 상자가 있다. 이 상자에서 한 장의 카드를 임의로 꺼내어 카드에 적힌 수를 확인한 후 다시 넣고, 다시 한 장의 카드를 임의로 꺼내어 카드에 적힌 수를 확인한다. 첫 번째 카드에서 나온 수를 Pk\displaystyle P_k, 두 번째 나온 수를 Qk\displaystyle Q_k라 하면 Pk\displaystyle P_k와 Qk\displaystyle Q_k는 1부터 k\displaystyle k까지의 자연수 값을 가지는 이산확률변수가 된다. 각각의 카드가 뽑힐 확률이 모두 같을 때, 다음 물음에 답하시오.

【3-1】 이차방정식 x2−2P6x+Q6=0\displaystyle x^2-2P_6x+Q_6=0의 실근의 개수를 확률변수 X\displaystyle X라 할 때, E(X)\displaystyle \mathrm E(X)를 구하시오. (30점)

【3-2】 이차방정식 x2−2P6x+Q6=0\displaystyle x^2-2P_6x+Q_6=0이 서로 다른 두 실근을 가질 때, 두 근의 차가 4보다 클 확률을 구하시오. (40점)

【3-3】 자연수 n\displaystyle n에 대하여 k=n2\displaystyle k=n^2일 때, 이차함수y=x2−2Pkx+Qk\displaystyle y=x^2-2P_kx+Q_k의 최솟값이 n\displaystyle n보다 클 사건을 En\displaystyle E_n이라 하자. lim⁡n→∞{nP(En)}\displaystyle \lim_{n\to\infty}\{n\mathrm P(E_n)\}의 값을 구하시오. (50점)

해설강의 준비중

논술 수열의 극한과 기하학적 확률

관련 개념강의 준비중

경북대 2021학년도 모의 자연계열 I 3번 · mathesis.kr/archive/knu/2021mo/jayeon1_3

+10점 · 실근의 개수에 따른 순서쌍 (P6,Q6)\displaystyle (P_6,Q_6)을 구한다.
+10점 · 확률변수 X\displaystyle X의 확률분포를 구한다.

【3-1】 (30점)○ 예시 답안: x2−2P6x+Q6=0\displaystyle x^2-2P_6x+Q_6=0의 해의 개수 X\displaystyle X는 P6\displaystyle P_6과 Q6\displaystyle Q_6에 따라 0,1, 그리고 2의 값을 갖는다.X=0\displaystyle X=0이 되는 사건의 조건은 P62−Q6<0\displaystyle P_6^2-Q_6<0이고 이 조건을 만족시키는 순서쌍 (P6,Q6)\displaystyle (P_6,Q_6)은 (1,2), (1,3), ⋯ , (1,6), (2,5), (2,6)\displaystyle (1,2),\ (1,3),\ \cdots,\ (1,6),\ (2,5),\ (2,6)이다. 각 순서쌍이 나올 확률이 136\displaystyle \frac1{36}이므로, P(X=0)=736\displaystyle \mathrm P(X=0)=\frac7{36}이 된다.같은 방법으로, X=1\displaystyle X=1이 되는 사건의 조건은 P62−Q6=0\displaystyle P_6^2-Q_6=0이고 이를 만족하는 순서쌍 (P6,Q6)\displaystyle (P_6,Q_6)은 (1,1), (2,4)\displaystyle (1,1),\ (2,4)이므로 P(X=1)=236\displaystyle \mathrm P(X=1)=\frac2{36}이 되며, 나머지 X=2\displaystyle X=2가 되는 사건의 확률은 P(X=2)=2736\displaystyle \mathrm P(X=2)=\frac{27}{36}이 된다.

+10점 · E(X)=0×736+1×236+2×2736=149\displaystyle \mathrm E(X)=0\times\frac7{36}+1\times\frac2{36}+2\times\frac{27}{36}=\frac{14}9을 구한다.

따라서 확률변수 X\displaystyle X의 기댓값은E(X)=0×736+1×236+2×2736=149\displaystyle \mathrm E(X)=0\times\frac7{36}+1\times\frac2{36}+2\times\frac{27}{36}=\frac{14}9이다.

+5점 · 서로 다른 두 실근을 갖게 하는 순서쌍 (P6,Q6)\displaystyle (P_6,Q_6)을 구한다.

【3-2】 (40점)○ 예시 답안: 이차방정식 x2−2P6x+Q6=0\displaystyle x^2-2P_6x+Q_6=0이 서로 다른 두 실근을 갖기 위한 조건은 P62−Q6>0\displaystyle P_6^2-Q_6>0이다. 이 조건을 만족시키는 순서쌍 (P6,Q6)\displaystyle (P_6,Q_6)의 집합을 A\displaystyle A라고 하면,A={(2,1), (2,2), (2,3), (3,1), ⋯ , (3,6),(4,1), ⋯ , (4,6), (5,1), ⋯ , (5,6), (6,1), ⋯ , (6,6)}\displaystyle \begin{aligned}A=\{&(2,1),\ (2,2),\ (2,3),\ (3,1),\ \cdots,\ (3,6),\\&(4,1),\ \cdots,\ (4,6),\ (5,1),\ \cdots,\ (5,6),\ (6,1),\ \cdots,\ (6,6)\}\end{aligned}이 된다.

+5점 · 두 근의 차이가 4보다 클 조건 Q6<P62−4\displaystyle Q_6<P_6^2-4을 구한다.

서로 다른 두 실근이 존재할 때, 두 근을 α\displaystyle \alpha와 β\displaystyle \beta라고 하면, α+β=2P6\displaystyle \alpha+\beta=2P_6이고 αβ=Q6\displaystyle \alpha\beta=Q_6이 된다. ∣α−β∣>4⇔∣α−β∣2>16\displaystyle |\alpha-\beta|>4\Leftrightarrow|\alpha-\beta|^2>16이고 ∣α−β∣2=4P62−4Q6\displaystyle |\alpha-\beta|^2=4P_6^2-4Q_6이므로, 두 근의 차가 4보다 크게 될 조건은 4P62−4Q6>16\displaystyle 4P_6^2-4Q_6>16, 즉, Q6<P62−4\displaystyle Q_6<P_6^2-4가 된다.

+10점 · Q6<P62−4\displaystyle Q_6<P_6^2-4을 만족하는 순서쌍 (P6,Q6)\displaystyle (P_6,Q_6)을 구한다.

이 조건을 만족시키는 순서쌍 (P6,Q6)\displaystyle (P_6,Q_6)의 집합을 B\displaystyle B라 하면,B={(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1), ⋯ , (4,6), (5,1), ⋯ , (5,6), (6,1), ⋯ , (6,6)}\displaystyle B=\{(3,1),\ (3,2),\ (3,3),\ (3,4),\ (4,1),\ \cdots,\ (4,6),\ (5,1),\ \cdots,\ (5,6),\ (6,1),\ \cdots,\ (6,6)\}이 된다.

+20점 · 조건부확률 P(B∣A)=P(B∩A)P(A)=22362736=2227\displaystyle \mathrm P(B|A)=\frac{\mathrm P(B\cap A)}{\mathrm P(A)}=\frac{\frac{22}{36}}{\frac{27}{36}}=\frac{22}{27}을 구한다.

따라서 구하는 확률은 다음의 조건부확률P(B∣A)=P(B∩A)P(A)=22362736=2227\displaystyle \mathrm P(B|A)=\frac{\mathrm P(B\cap A)}{\mathrm P(A)}=\frac{\frac{22}{36}}{\frac{27}{36}}=\frac{22}{27}이다.

+20점 · Q>P2+n\displaystyle Q>P^2+n을 만족하는 순서쌍 (P,Q)\displaystyle (P,Q)를 구한다.

【3-3】 (50점)○ 예시 답안: Pn2\displaystyle P_{n^2}과 Qn2\displaystyle Q_{n^2}을 각각 P\displaystyle P와 Q\displaystyle Q로 표기하면, P\displaystyle P와 Q\displaystyle Q는 1n2\displaystyle \frac1{n^2}의 확률로 1부터 n2\displaystyle n^2까지 자연수의 값을 갖는 확률변수이다. 주어진 함수의 최솟값이 −P2+Q\displaystyle -P^2+Q이므로, 문제의 조건은 −P2+Q>n\displaystyle -P^2+Q>n, 즉, Q>P2+n\displaystyle Q>P^2+n이 된다. 이 조건을 만족시키는 P\displaystyle P와 Q\displaystyle Q는 다음과 같이 구할 수 있다.P=1일 때, Q=n+2, ⋯ , n2P=2일 때, Q=n+5, ⋯ , n2⋮P=k일 때, Q=n+k2+1, ⋯ , n2⋮P=n−1일 때, Q=n+(n−1)2+1, ⋯ , n2\displaystyle \begin{gathered}P=1\text{일 때},\ Q=n+2,\ \cdots,\ n^2\\P=2\text{일 때},\ Q=n+5,\ \cdots,\ n^2\\\vdots\\P=k\text{일 때},\ Q=n+k^2+1,\ \cdots,\ n^2\\\vdots\\P=n-1\text{일 때},\ Q=n+(n-1)^2+1,\ \cdots,\ n^2\end{gathered}

+20점 · 위 조건을 만족시키는 순서쌍 (P,Q)\displaystyle (P,Q)의 개수 ∑k=1n−1(n2−n−k2)=n(n−1)(23n−56)\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}(n^2-n-k^2)=n(n-1)\left(\frac23n-\frac56\right)을 구한다.

따라서 −P2+Q>n\displaystyle -P^2+Q>n을 만족시키는 순서쌍 (P,Q)\displaystyle (P,Q)의 개수는∑k=1n−1(n2−n−k2)=(n2−n)(n−1)−n(n−1)(2n−1)6=n(n−1)(23n−56)\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}(n^2-n-k^2)=(n^2-n)(n-1)-\frac{n(n-1)(2n-1)}6=n(n-1)\left(\frac23n-\frac56\right)

+5점 · P(En)=1n4∑k=1n−1(n2−n−k2)=n(n−1)n4(23n−56)\displaystyle \mathrm P(E_n)=\frac1{n^4}\sum_{k=1}^{n-1}(n^2-n-k^2)=\frac{n(n-1)}{n^4}\left(\frac23n-\frac56\right)을 구한다.

이고 각각의 순서쌍에 주어진 확률이 1n4\displaystyle \frac1{n^4}이므로,P(En)=1n4∑k=1n−1(n2−n−k2)=n(n−1)n4(23n−56)\displaystyle \mathrm P(E_n)=\frac1{n^4}\sum_{k=1}^{n-1}(n^2-n-k^2)=\frac{n(n-1)}{n^4}\left(\frac23n-\frac56\right)

+5점 · lim⁡n→∞{nP(En)}=23\displaystyle \lim_{n\to\infty}\{n\mathrm P(E_n)\}=\frac23을 구한다.

이 된다. 따라서 lim⁡n→∞nP(En)=23\displaystyle \lim_{n\to\infty}n\mathrm P(E_n)=\frac23이다.

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