자연계열 I 2번

【2-1】 $\displaystyle S_n$에 포함된 점의 총 개수는 $\displaystyle 2^{n+1}$이고, $\displaystyle S_n$에 포함된 점 중에서 선분 $\displaystyle \mathrm{XY}$ 위에 있는 점의 총 개수는 $\displaystyle 2^n+1$이다. $\displaystyle a_n$과 $\displaystyle b_n$은 아래와 같다.$\displaystyle a_n={}_{2^{n+1}}\mathrm C_2-{}_{(2^n+1)}\mathrm C_2+1=3\times2^{n-1}(2^n-1)+1$,$\displaystyle b_n={}_{2^{n+1}}\mathrm C_3-{}_{(2^n+1)}\mathrm C_3=\dfrac{2^{n-1}(2^n-1)(7\times2^n-5)}3$$\displaystyle a_3=85,b_3=476$.

【2-2】 (1) $\displaystyle c_n=\dfrac{9b_n}{7(a_n-1)}+\dfrac57=2^n$이다. 직선 $\displaystyle y=d_nx$와 두 선분 $\displaystyle \mathrm A_n\mathrm C_n$과 $\displaystyle \mathrm B_n\mathrm C_n$의 교점을 각각 $\displaystyle \mathrm P_n$과 $\displaystyle \mathrm Q_n$이라 하자. 원점을 $\displaystyle \mathrm O(0,0)$이라 하자.(삼각형 $\displaystyle \mathrm A_n\mathrm B_n\mathrm C_n$의 넓이) $\displaystyle =\dfrac12\times(2^{n+1}-2^n)\times2^{n+2}=2^{2n+1}$이므로,(삼각형 $\displaystyle \mathrm P_n\mathrm Q_n\mathrm C_n$의 넓이) $\displaystyle =\dfrac12\times$(삼각형 $\displaystyle \mathrm A_n\mathrm B_n\mathrm C_n$의 넓이) $\displaystyle =2^{2n}$이다.

또한, (삼각형 $\displaystyle \mathrm P_n\mathrm Q_n\mathrm C_n$의 넓이) = (삼각형 $\displaystyle \mathrm O\mathrm Q_n\mathrm C_n$의 넓이) - (삼각형 $\displaystyle \mathrm O\mathrm P_n\mathrm C_n$의 넓이)$\displaystyle \begin{aligned}&=\dfrac12\times2^{n+2}\times q_n-\dfrac12\times2^{n+2}\times p_n\\&=\dfrac12\times2^{n+2}\times(q_n-p_n)\end{aligned}$이므로,$\displaystyle q_n-p_n=2^{n-1}$이고 $\displaystyle \log_8(q_{100}-p_{100})=33$이다.

(2) 두 점 $\displaystyle \mathrm A_n,\mathrm C_n$을 지나는 직선의 방정식은 $\displaystyle y=-4x+2^{n+2}$이고, 두 점 $\displaystyle \mathrm B_n,\mathrm C_n$을 지나는 직선의 방정식은 $\displaystyle y=-2x+2^{n+2}$이므로, $\displaystyle \mathrm P_n(p_n,-4p_n+2^{n+2}),\mathrm Q_n(q_n,-2q_n+2^{n+2})$이다.두 점 $\displaystyle \mathrm P_n$과 $\displaystyle \mathrm Q_n$이 모두 직선 $\displaystyle y=d_nx$위에 있으므로, $\displaystyle d_n=\dfrac{-4p_n+2^{n+2}}{p_n}=\dfrac{-2q_n+2^{n+2}}{q_n}$이고 $\displaystyle p_nq_n=2^{2n}$이다.

$\displaystyle q_n-p_n=2^{n-1}$이고 $\displaystyle p_nq_n=2^{2n}$이므로 $\displaystyle p_n=(\sqrt{17}-1)2^{n-2}$이다. ($\displaystyle \because p_n>0$)$\displaystyle d_n=\dfrac{-4p_n+2^{n+2}}{p_n}=\sqrt{17}-3$이므로, $\displaystyle d_{100}=\sqrt{17}-3$이다.