수리논술, 이게 다다.

자연계열 I 2번

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경북대 2022학년도 수시 자연계열 I 2번 · mathesis.kr/archive/knu/2022su/jayeon1_2

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[2] 다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 서로 다른 n\displaystyle n개에서 r (0≤r≤n)\displaystyle r\ (0\le r\le n)개를 택하는 조합의 수는nCr=nPrr!=n!r!(n−r)!\displaystyle {}_n\mathrm C_r=\dfrac{{}_n\mathrm P_r}{r!}=\dfrac{n!}{r!(n-r)!}

(나) 점 (x1,y1)\displaystyle (x_1,y_1)을 지나고 기울기가 m\displaystyle m인 직선의 방정식은y−y1=m(x−x1)\displaystyle y-y_1=m(x-x_1)

(다) a>0,a≠1,b>0\displaystyle a>0,a\ne1,b>0일 때,(a) log⁡abk=klog⁡ab\displaystyle \log_ab^k=k\log_ab (단, k\displaystyle k는 실수)(b) log⁡ab=log⁡cblog⁡ca\displaystyle \log_ab=\dfrac{\log_cb}{\log_ca} (단, c>0,c≠1\displaystyle c>0,c\ne1)

※ 모든 문항에서 풀이과정을 반드시 기술하시오.

모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 선분 XY\displaystyle \mathrm{XY}를 지름으로 하는 반원에서 선분 XY\displaystyle \mathrm{XY}를 2n\displaystyle 2^n등분한 각 분점(X\displaystyle \mathrm X와 Y\displaystyle \mathrm Y도 포함)과 호 XY\displaystyle \mathrm{XY}를 2n\displaystyle 2^n등분한 각 분점으로 이루어진 집합을 Sn\displaystyle S_n이라 하자. 예를 들어, 두 집합 S1\displaystyle S_1과 S2\displaystyle S_2의 원소는 각각 아래 [그림1], [그림2]의 점과 같다.

반원의 지름과 호를 각각 2등분한 S1과 4등분한 S2의 점들

집합 Sn\displaystyle S_n의 원소인 점을 2\displaystyle 2개 이상 지나는 서로 다른 직선의 개수를 an\displaystyle a_n, 집합 Sn\displaystyle S_n의 원소인 점 3\displaystyle 3개를 꼭짓점으로 하는 삼각형의 개수를 bn\displaystyle b_n이라 하자.

【2-1】 a3\displaystyle a_3과 b3\displaystyle b_3의 값을 각각 구하시오. (30점)

【2-2】 수열 cn\displaystyle {c_n}의 일반항을 cn=9bn7(an−1)+57\displaystyle c_n=\dfrac{9b_n}{7(a_n-1)}+\dfrac57라 하자.좌표평면 위의 세 점 An(cn,0),Bn(cn+1,0),Cn(0,cn+2)\displaystyle \mathrm A_n(c_n,0),\mathrm B_n(c_{n+1},0),\mathrm C_n(0,c_{n+2})에 대하여 직선 y=dnx\displaystyle y=d_nx가 삼각형 AnBnCn\displaystyle \mathrm A_n\mathrm B_n\mathrm C_n의 넓이를 이등분한다.직선 y=dnx\displaystyle y=d_nx와 두 선분 AnCn\displaystyle \mathrm A_n\mathrm C_n과 BnCn\displaystyle \mathrm B_n\mathrm C_n의 교점의 x\displaystyle x좌표를 각각 pn\displaystyle p_n과 qn\displaystyle q_n이라 하자.(1) log⁡8(q100−p100)\displaystyle \log_8(q_{100}-p_{100})의 값을 구하시오. (40점)

(2) d100\displaystyle d_{100}의 값을 구하시오. (50점)

해설강의 준비중

경북대 2022학년도 수시 자연계열 I 2번 · mathesis.kr/archive/knu/2022su/jayeon1_2

+15점 · a3=16C2−9C2+1=85\displaystyle a_3={}_{16}\mathrm C_2-{}_9\mathrm C_2+1=85를 구하면
+15점 · b3=16C3−9C3=476\displaystyle b_3={}_{16}\mathrm C_3-{}_9\mathrm C_3=476을 구하면

【2-1】 Sn\displaystyle S_n에 포함된 점의 총 개수는 2n+1\displaystyle 2^{n+1}이고, Sn\displaystyle S_n에 포함된 점 중에서 선분 XY\displaystyle \mathrm{XY} 위에 있는 점의 총 개수는 2n+1\displaystyle 2^n+1이다. an\displaystyle a_n과 bn\displaystyle b_n은 아래와 같다.an=2n+1C2−(2n+1)C2+1=3×2n−1(2n−1)+1\displaystyle a_n={}_{2^{n+1}}\mathrm C_2-{}_{(2^n+1)}\mathrm C_2+1=3\times2^{n-1}(2^n-1)+1,bn=2n+1C3−(2n+1)C3=2n−1(2n−1)(7×2n−5)3\displaystyle b_n={}_{2^{n+1}}\mathrm C_3-{}_{(2^n+1)}\mathrm C_3=\dfrac{2^{n-1}(2^n-1)(7\times2^n-5)}3a3=85,b3=476\displaystyle a_3=85,b_3=476.

+20점 · cn=9bn7(an−1)+57=2n\displaystyle c_n=\dfrac{9b_n}{7(a_n-1)}+\dfrac57=2^n을 구하면

【2-2】 (1) cn=9bn7(an−1)+57=2n\displaystyle c_n=\dfrac{9b_n}{7(a_n-1)}+\dfrac57=2^n이다. 직선 y=dnx\displaystyle y=d_nx와 두 선분 AnCn\displaystyle \mathrm A_n\mathrm C_n과 BnCn\displaystyle \mathrm B_n\mathrm C_n의 교점을 각각 Pn\displaystyle \mathrm P_n과 Qn\displaystyle \mathrm Q_n이라 하자. 원점을 O(0,0)\displaystyle \mathrm O(0,0)이라 하자.(삼각형 AnBnCn\displaystyle \mathrm A_n\mathrm B_n\mathrm C_n의 넓이) =12×(2n+1−2n)×2n+2=22n+1\displaystyle =\dfrac12\times(2^{n+1}-2^n)\times2^{n+2}=2^{2n+1}이므로,(삼각형 PnQnCn\displaystyle \mathrm P_n\mathrm Q_n\mathrm C_n의 넓이) =12×\displaystyle =\dfrac12\times(삼각형 AnBnCn\displaystyle \mathrm A_n\mathrm B_n\mathrm C_n의 넓이) =22n\displaystyle =2^{2n}이다.

+20점 · log⁡8(q100−p100)=33\displaystyle \log_8(q_{100}-p_{100})=33을 구하면

또한, (삼각형 PnQnCn\displaystyle \mathrm P_n\mathrm Q_n\mathrm C_n의 넓이) = (삼각형 OQnCn\displaystyle \mathrm O\mathrm Q_n\mathrm C_n의 넓이) - (삼각형 OPnCn\displaystyle \mathrm O\mathrm P_n\mathrm C_n의 넓이)=12×2n+2×qn−12×2n+2×pn=12×2n+2×(qn−pn)\displaystyle \begin{aligned}&=\dfrac12\times2^{n+2}\times q_n-\dfrac12\times2^{n+2}\times p_n\\&=\dfrac12\times2^{n+2}\times(q_n-p_n)\end{aligned}이므로,qn−pn=2n−1\displaystyle q_n-p_n=2^{n-1}이고 log⁡8(q100−p100)=33\displaystyle \log_8(q_{100}-p_{100})=33이다.

+20점 · pnqn=22n\displaystyle p_nq_n=2^{2n}을 구하면

(2) 두 점 An,Cn\displaystyle \mathrm A_n,\mathrm C_n을 지나는 직선의 방정식은 y=−4x+2n+2\displaystyle y=-4x+2^{n+2}이고, 두 점 Bn,Cn\displaystyle \mathrm B_n,\mathrm C_n을 지나는 직선의 방정식은 y=−2x+2n+2\displaystyle y=-2x+2^{n+2}이므로, Pn(pn,−4pn+2n+2),Qn(qn,−2qn+2n+2)\displaystyle \mathrm P_n(p_n,-4p_n+2^{n+2}),\mathrm Q_n(q_n,-2q_n+2^{n+2})이다.두 점 Pn\displaystyle \mathrm P_n과 Qn\displaystyle \mathrm Q_n이 모두 직선 y=dnx\displaystyle y=d_nx위에 있으므로, dn=−4pn+2n+2pn=−2qn+2n+2qn\displaystyle d_n=\dfrac{-4p_n+2^{n+2}}{p_n}=\dfrac{-2q_n+2^{n+2}}{q_n}이고 pnqn=22n\displaystyle p_nq_n=2^{2n}이다.

+30점 · d100=17−3\displaystyle d_{100}=\sqrt{17}-3을 구하면

qn−pn=2n−1\displaystyle q_n-p_n=2^{n-1}이고 pnqn=22n\displaystyle p_nq_n=2^{2n}이므로 pn=(17−1)2n−2\displaystyle p_n=(\sqrt{17}-1)2^{n-2}이다. (∵pn>0\displaystyle \because p_n>0)dn=−4pn+2n+2pn=17−3\displaystyle d_n=\dfrac{-4p_n+2^{n+2}}{p_n}=\sqrt{17}-3이므로, d100=17−3\displaystyle d_{100}=\sqrt{17}-3이다.

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