자연계열 1번

먼저 극한 $\displaystyle \lim_{x\to0}\left(x\left[\frac1x\right]\right)=\lim_{y\to\pm\infty}\left(\frac{[y]}y\right)$이고 임의의 실수 $\displaystyle y$는 정수 $\displaystyle n$과 $\displaystyle (0,1)$사이의 수 $\displaystyle \alpha$의 합, 즉 $\displaystyle y=n+\alpha\ (0\le\alpha<1)$로 표현된다. 따라서, $\displaystyle \lim_{x\to0}\left(x\left[\frac1x\right]\right)=\lim_{y\to\pm\infty}\left(\frac{[y]}y\right)=\lim_{y\to\pm\infty}\left(\frac{y-\alpha}y\right)=1$의 값을 갖는다. 따라서, 주어진 문제 (5)는 $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{x}{x^2+ax+b}=-1$을 만족하여야하고 극한값이 유한한 값을 갖기 위해서는 분모에 0을 대입한 값 $\displaystyle b=0$이고 $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{x}{x^2+ax}=\lim_{x\to0}\frac1{x+a}=\frac1a=-1$로부터 $\displaystyle a=-1$의 값을 갖는다.Comment. ‘극한값이 유한한 값을 갖기 위해서는’이라는 설명은 부정확하다. $\displaystyle b\ne0$일 때도 극한값은 $\displaystyle 0$으로 유한하다. 이 문제에서는 극한값이 $\displaystyle -1$이어야 하므로 $\displaystyle b=0$이어야 하며, 대학이 구한 $\displaystyle a=-1,\ b=0$은 옳다.