자연계열 2번

가. $\displaystyle h^{\prime}(x)=n\{f(x)\}^{n-1}\cdot f^{\prime}(x)$.

나. 함수 $\displaystyle h(x)$를 $\displaystyle h(x)=\{f(x)\}^2+\{f^{\prime}(x)\}^2$라 하자. 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여

$\displaystyle h^{\prime}(x)=2f(x)f^{\prime}(x)+2f^{\prime}(x)f^{\prime\prime}(x)=2f(x)f^{\prime}(x)+2f^{\prime}(x)(-f(x))=0$

이므로 $\displaystyle h(x)$는 상수 함수이다. 그런데 $\displaystyle h(0)=(-2)^2+0^2=4$. 따라서 $\displaystyle h(x)\equiv4$이고 $\displaystyle \{f(2005)\}^2+\{f^{\prime}(2005)\}^2=h(2005)=4$이다.

[힌트]

가. 힌트 없음.

나. 함수 $\displaystyle h(x)$를 $\displaystyle h(x)=\{f(x)\}^2+\{f^{\prime}(x)\}^2$라고 하고 $\displaystyle h^{\prime}(x)$를 계산하게 한다.