자연계열 3번

먼저 $\displaystyle f\circ f$의 치역이 $\displaystyle \{1\}$이므로 $\displaystyle f$의 치역은 1을 원소로 갖는다.

(i) $\displaystyle f$의 치역이 $\displaystyle \{1\}$일 때: $\displaystyle f$는 상수함수 1이다.

(ii) $\displaystyle f$의 치역이 1,2일 때: $\displaystyle f\circ f$의 치역이 $\displaystyle \{1\}$이므로 $\displaystyle f(f(1))=f(f(2))=f(f(3))=1$에서 $\displaystyle f(1)=f(2)=1$임을 알 수 있다. $\displaystyle f$는 상수함수가 아니어야 하므로 (상수함수인 경우는 (i)에서 계산하였다) $\displaystyle f(3)=2$이어야 한다.

(iii) $\displaystyle f$의 치역이 1,3일 때: (ii)에서와 같은 방법으로 $\displaystyle f(1)=f(3)=1$, $\displaystyle f(2)=3$이어야 한다.

(iv) $\displaystyle f$의 치역이 1,2,3일 때: 이 경우는 $\displaystyle f$가 일대일대응이므로 역함수를 갖게 되는데, 이것은, $\displaystyle f\circ f$의 치역이 $\displaystyle \{1\}$이라는 가정에 모순이다.

따라서 구하는 함수의 개수는 3개이다.

(도움말) $\displaystyle f(1)=1$임을 알려주고 $\displaystyle f$의 치역을 구하도록 한다.