자연계열 2번

방정식 $\displaystyle x^3-1=0$의 세 근을 $\displaystyle 1,u_1,u_2$라 하면

$\displaystyle 1+u_1+u_2=-(x^3-1\text{의 }x^2\text{의 계수})=0$.

같은 방법으로 방정식 $\displaystyle x^5-1=0$의 근을 $\displaystyle 1,v_1,v_2,v_3,v_4$라 하면 $\displaystyle 1+v_1+v_2+v_3+v_4=0$.

방정식 $\displaystyle x^7-1=0$의 근을 $\displaystyle 1,w_1,\ldots,w_6$이라 하면 $\displaystyle 1+w_1+\cdots+w_6=0$.

주어진 방정식의 서로 다른 13개의 근은 $\displaystyle 1,u_1,u_2,v_1,v_2,v_3,v_4,w_1,\ldots,w_6$이므로

$\displaystyle \begin{aligned}1+1+z_1+\cdots+z_{13}&=(1+u_1+u_2)+(1+v_1+v_2+v_3+v_4)+(1+w_1+\cdots+w_6)\\&=0+0+0=0.\end{aligned}$

따라서 $\displaystyle z_1+\cdots+z_{13}=-2$.

[힌트]

1. 1이 주어진 방정식의 삼중근임을 알려준다.

2. 방정식 $\displaystyle x^3-1=0$의 세 근을 $\displaystyle 1,u_1,u_2$라 하면

$\displaystyle 1+u_1+u_2=-(x^3-1\text{의 }x^2\text{의 계수})=0$

임을 알려준다.