수리논술, 이게 다다.

자연계열 2번

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건국대 2005학년도 수시 2학기 담임교사추천 면접 (오후) 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/konkuk/2005su_2_rec_pm/jayeon_2

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문제

방정식

(x−1)5+x2+3=0\displaystyle (x-1)^5+x^2+3=0

은 5개의 근을 가진다. 이 근을 z1,z2,…,z5\displaystyle z_1,z_2,\ldots,z_5라 했을 때

1z1+1z2+1z3+1z4+1z5\displaystyle \frac1{z_1}+\frac1{z_2}+\frac1{z_3}+\frac1{z_4}+\frac1{z_5}

을 구하시오.

해설강의 준비중

건국대 2005학년도 수시 2학기 담임교사추천 면접 (오후) 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/konkuk/2005su_2_rec_pm/jayeon_2

1z1+1z2+1z3+1z4+1z5=z1z2z3z4+z1z2z3z5+z1z2z4z5+z1z3z4z5+z2z3z4z5z1z2z3z4z5\displaystyle \frac1{z_1}+\frac1{z_2}+\frac1{z_3}+\frac1{z_4}+\frac1{z_5}=\frac{z_1z_2z_3z_4+z_1z_2z_3z_5+z_1z_2z_4z_5+z_1z_3z_4z_5+z_2z_3z_4z_5}{z_1z_2z_3z_4z_5}

이 가정으로부터 (x−1)5+x2+3=(x−z1)(x−z2)⋯(x−z5)\displaystyle (x-1)^5+x^2+3=(x-z_1)(x-z_2)\cdots(x-z_5). 따라서

(x−1)5+x2+3의 상수항=−z1z2⋯z5,\displaystyle (x-1)^5+x^2+3\text{의 상수항}=-z_1z_2\cdots z_5,

(x−1)5+x2+3의 x의 계수=z1z2z3z4+z1z2z3z5+z1z2z4z5+z1z3z4z5+z2z3z4z5.\displaystyle (x-1)^5+x^2+3\text{의 }x\text{의 계수}=z_1z_2z_3z_4+z_1z_2z_3z_5+z_1z_2z_4z_5+z_1z_3z_4z_5+z_2z_3z_4z_5.

이항정리를 사용하여 (x−1)5\displaystyle (x-1)^5를 전개하면 x\displaystyle x의 계수는 5이고 상수항은 −1\displaystyle -1이다.

(x−1)5+x2+3\displaystyle (x-1)^5+x^2+3을 전개하면 x\displaystyle x의 계수는 5이고 상수항은 2이다. 따라서

1z1+1z2+1z3+1z4+1z5=−(x−1)5+x2+3의 x의 계수(x−1)5+x2+3의 상수항=−52.\displaystyle \frac1{z_1}+\frac1{z_2}+\frac1{z_3}+\frac1{z_4}+\frac1{z_5}=-\frac{(x-1)^5+x^2+3\text{의 }x\text{의 계수}}{(x-1)^5+x^2+3\text{의 상수항}}=-\frac52.

[힌트]

1. (x−1)5+x2+3=(x−z1)(x−z2)(x−z3)(x−z4)(x−z5)\displaystyle (x-1)^5+x^2+3=(x-z_1)(x-z_2)(x-z_3)(x-z_4)(x-z_5)임을 알려준다.

2. (x−z1)(x−z2)(x−z3)(x−z4)(x−z5)\displaystyle (x-z_1)(x-z_2)(x-z_3)(x-z_4)(x-z_5)의 상수항은 −z1z2z3z4z5\displaystyle -z_1z_2z_3z_4z_5임을 알려준다.

1번은 2점 만점으로, 2번은 3점 만점으로 계산합니다.

힌트 없이 풀면 만점을 주고, 힌트를 한 번 줄 때마다 1점씩 감점합니다.

A(5점), B(4점), C(3점), D(2점), E(1점 이하).

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