자연계열 2번

$\displaystyle \frac1{z_1}+\frac1{z_2}+\frac1{z_3}+\frac1{z_4}+\frac1{z_5}=\frac{z_1z_2z_3z_4+z_1z_2z_3z_5+z_1z_2z_4z_5+z_1z_3z_4z_5+z_2z_3z_4z_5}{z_1z_2z_3z_4z_5}$

이 가정으로부터 $\displaystyle (x-1)^5+x^2+3=(x-z_1)(x-z_2)\cdots(x-z_5)$. 따라서

$\displaystyle (x-1)^5+x^2+3\text{의 상수항}=-z_1z_2\cdots z_5,$

$\displaystyle (x-1)^5+x^2+3\text{의 }x\text{의 계수}=z_1z_2z_3z_4+z_1z_2z_3z_5+z_1z_2z_4z_5+z_1z_3z_4z_5+z_2z_3z_4z_5.$

이항정리를 사용하여 $\displaystyle (x-1)^5$를 전개하면 $\displaystyle x$의 계수는 5이고 상수항은 $\displaystyle -1$이다.

$\displaystyle (x-1)^5+x^2+3$을 전개하면 $\displaystyle x$의 계수는 5이고 상수항은 2이다. 따라서

$\displaystyle \frac1{z_1}+\frac1{z_2}+\frac1{z_3}+\frac1{z_4}+\frac1{z_5}=-\frac{(x-1)^5+x^2+3\text{의 }x\text{의 계수}}{(x-1)^5+x^2+3\text{의 상수항}}=-\frac52.$

[힌트]

1. $\displaystyle (x-1)^5+x^2+3=(x-z_1)(x-z_2)(x-z_3)(x-z_4)(x-z_5)$임을 알려준다.

2. $\displaystyle (x-z_1)(x-z_2)(x-z_3)(x-z_4)(x-z_5)$의 상수항은 $\displaystyle -z_1z_2z_3z_4z_5$임을 알려준다.