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자연계열 2번

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국민대 2012학년도 수시2차 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/kookmin/2012su_2/jayeon_2

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【문제 2】【지정문제 2】(배점 25%)아래의 제시문을 읽고 다음 물음에 답하시오.

정적분을 계산할 때 피적분함수의 원시함수를 구하기 어렵거나, 함수의 정확한 형태는 모르지만 측정된 유한개의 함숫값이 주어진 경우에는 정적분의 근삿값을 구하는 방법이 사용된다. 함수 y=f(x)\displaystyle y=f(x)가 닫힌구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속이라고 하자. 구간 [a,b]\displaystyle [a,b]를 n\displaystyle n등분하여 양 끝점과 등분점의 x\displaystyle x좌표를 차례로 a=x0,x1,x2,⋯ ,xn−1,xn=b\displaystyle a=x_0,x_1,x_2,\cdots,x_{n-1},x_n=b라 하고, 각 소구간의 길이를 Δx\displaystyle \Delta x라고 하면, Δx=b−an\displaystyle \Delta x=\frac{b-a}{n}이다. 각 소구간에서 평행한 두 변의 길이가 f(xi−1)\displaystyle f(x_{i-1})과 f(xi)\displaystyle f(x_i)인 사다리꼴의 넓이를 곡선 아랫부분의 넓이 Ai\displaystyle A_i의 근삿값으로 하면, Ai≈12{f(xi−1)+f(xi)}Δx\displaystyle A_i\approx\frac{1}{2}\{f(x_{i-1})+f(x_i)\}\Delta x이다.

함수의 그래프 아래를 사다리꼴로 근사한 그림

(2-1) 위에서 설명한 Ai\displaystyle A_i의 근삿값을 이용하여 정적분 ∫abf(x)dx\displaystyle \int_a^b f(x)dx의 근삿값을 구하는 식을 유도하시오.

(2-2) 병원에서 사용하는 MRI(핵자기공명 영상장치)는 의사가 관찰하려는 부위의 3차원 입체영상을 제공한다. 의사가 이상 여부를 판단하기 위해 사용하는 3차원 입체영상은 촬영된 여러 단층정보를 조합하여 만들어진다. 아래 표는 종양부위 단면들의 넓이 S(x)\displaystyle S(x)를 MRI 촬영으로 얻은 자료이다. 이 자료를 바탕으로 (2-1)에서 유도한 정적분의 근삿값 계산방법을 적용하여 종양의 부피를 구하시오.

x(mm)\displaystyle x(mm)012345678910
S(x)(mm2)\displaystyle S(x)(mm^2)014369128621

해설강의 준비중

국민대 2012학년도 수시2차 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/kookmin/2012su_2/jayeon_2

(문제 2-1) (배점 50%)∫abf(x)dx=∑i=1nAi≈∑i=1n{f(xi−1)+f(xi)2}Δx={f(x0)+f(x1)2+f(x1)+f(x2)2+⋯+f(xn−1)+f(xn)2}b−an=b−a2n{f(x0)+2f(x1)+2f(x2)+⋯+2f(xn−1)+f(xn)}=b−a2n{f(x0)+f(xn)+2∑i=1n−1f(xi)}\displaystyle \begin{aligned}\int_a^b f(x)dx&=\sum_{i=1}^n A_i\\&\approx\sum_{i=1}^n\left\{\frac{f(x_{i-1})+f(x_i)}{2}\right\}\Delta x\\&=\left\{\frac{f(x_0)+f(x_1)}{2}+\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}+\cdots+\frac{f(x_{n-1})+f(x_n)}{2}\right\}\frac{b-a}{n}\\&=\frac{b-a}{2n}\{f(x_0)+2f(x_1)+2f(x_2)+\cdots+2f(x_{n-1})+f(x_n)\}\\&=\frac{b-a}{2n}\left\{f(x_0)+f(x_n)+2\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i)\right\}\end{aligned}

(문제 2-2) (배점 50%)종양의 부피를 V\displaystyle V라 하면, (2-1)에서 유도한 공식에서 a=0,b=10,n=10\displaystyle a=0,b=10,n=10이고, xi=i (0≤i≤10)\displaystyle x_i=i\ (0\le i\le10)이므로, 아래 계산 과정에 의해 V\displaystyle V의 근사값은 51.5mm3\displaystyle 51.5mm^3이다.V=∫010S(x)dx≈10−02⋅10{0+1+2(1+4+3+6+9+12+8+6+2)}=51.5(mm3)\displaystyle \begin{aligned}V&=\int_0^{10}S(x)dx\\&\approx\frac{10-0}{2\cdot10}\{0+1+2(1+4+3+6+9+12+8+6+2)\}\\&=51.5(mm^3)\end{aligned}

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