자연계열 3번

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국민대 2012학년도 수시2차 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/kookmin/2012su_2/jayeon_3

【문제 3】(배점 25%)아래의 제시문을 읽고 다음 물음에 답하시오.

(주)용두리자동차는 중요한 물건이나 서류를 보관하기 위해 특수하게 제작된 디지털금고를 구입하였다. 디지털금고는 $\displaystyle n$ 차 다항식 $\displaystyle f(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0$ 을 암호생성 알고리즘으로, 계수 $\displaystyle (a_n,a_{n-1},\cdots,a_0)$ 을 열쇠로 사용한다. 사장은 $\displaystyle n$ 의 값과 열쇠 $\displaystyle (a_n,a_{n-1},\cdots,a_0)$ 의 값을 선택하여 디지털금고를 초기화시켜야 한다. 디지털금고는 초기화 시 설정된 개수 이상의 암호가 입력되어야 개방되며, 각 암호는 입력된 값 $\displaystyle x$ 와 함숫값 $\displaystyle f(x)$ 의 순서쌍 $\displaystyle (x,f(x))$ 로 구성된다. 설정된 개수 이상의 암호가 입력되면 열쇠가 계산되지만, 그보다 적은 개수의 암호로는 계산되지 않는다. 디지털금고는 계산된 열쇠와 설정된 열쇠가 서로 일치하면 개방된다. 사장은 $\displaystyle n$ 을 $\displaystyle 2$ 로, 열쇠를 $\displaystyle (A,B,C)$ 로 선택하여 디지털금고를 초기화하고, 아래와 같은 다섯 개의 암호를 생성하여 임원들에게 안전하게 분배하였다.

• <암호-1> : $\displaystyle (3,85)$ • <암호-2> : $\displaystyle (5,187)$ • <암호-3> : $\displaystyle (7,329)$ • <암호-4> : $\displaystyle (11,733)$ • <암호-5> : $\displaystyle (13,995)$

(3-1) 디지털금고를 개방하려면 다섯 개의 암호 중 최소 몇 개의 암호가 필요한지 말하고 그 이유를 설명하시오.

(3-2) 암호를 필요한 최소 개수만큼 차례대로 <암호-1>부터 선택하여 열쇠 $\displaystyle (A,B,C)$ 를 계산하시오.

해설강의 준비중

국민대 2012학년도 수시2차 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/kookmin/2012su_2/jayeon_3

(문제 3-1) (배점 50%)최소 세 개의 암호가 필요하다. 왜냐하면, 사장이 $\displaystyle n$ 을 $\displaystyle 2$ 로, 열쇠를 $\displaystyle (A,B,C)$ 로 선택하였기에, 2차 다항식 $\displaystyle f(x)=Ax^2+Bx+C$ 이 암호생성 알고리즘이 된다. 따라서 2차 함수의 계수 $\displaystyle (A,B,C)$ 를 결정하기 위해서는 최소한 그 곡선을 지나는 서로 다른 3개의 좌표만 있으면 된다.

(문제 3-2) (배점 50%)필요한 암호의 최소 개수는 $\displaystyle 3$ 개이므로 <암호-1>, <암호-2>, <암호-3>을 2차 다항식 $\displaystyle f(x)=Ax^2+Bx+C$ 에 입력하여 연립일차방정식 세 개를 구한다. 즉, $\displaystyle (3,f(3))=(3,85)$ , $\displaystyle (5,f(5))=(5,187)$ , $\displaystyle (7,f(7))=(7,329)$ 로부터 $\displaystyle 9A+3B+C=85$ ....... (1) $\displaystyle 25A+5B+C=187$ ....... (2) $\displaystyle 49A+7B+C=329$ ....... (3)(2)-(1)에서 $\displaystyle 16A+2B=102$ ....... (4)(3)-(2)에서 $\displaystyle 24A+2B=142$ ....... (5)(5)-(4)에서 $\displaystyle 8A=40$ . ∴ $\displaystyle A=5$ $\displaystyle A$ 의 값을 (4)에 대입하면 $\displaystyle B=11$ $\displaystyle A,B$ 의 값을 (1)에 대입하면 $\displaystyle C=7$ .따라서 $\displaystyle (A,B,C)=(5,11,7)$ 이다.

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