자연계열 4번

(문제 4-1) (배점 50%)표본공간을 $\displaystyle S$라 하고, $\displaystyle A,B$자동차가 선택될 사건을 각각 $\displaystyle A,B$로 놓으면,$\displaystyle S=A\cup B,A\cap B=\varnothing$, $\displaystyle 1=P(S)=P(A\cup B)=P(A)+P(B)=0.4+0.6$, $\displaystyle F\subset S$이므로$\displaystyle \begin{aligned}P(F)&=P(F\cap S)\\&=P(F\cap(A\cup B))\\&=P((F\cap A)\cup(F\cap B))\\&=P(F\cap A)+P(F\cap B)\\&=P(A)P(F\mid A)+P(B)P(F\mid B)\\&=(0.4)(0.005)+(0.6)(0.003)\\&=0.0038(0.38\%).\end{aligned}$

(문제 4-2) (배점 50%)수색 작업이 진행되기 전에는 3개 지역에 실종자가 있을 가능성이 동일하다고 했으므로 $\displaystyle P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{3}$이다.$\displaystyle P(A\mid E_A)=\frac{P(A\cap E_A)}{P(E_A)},P(B\mid E_A)=\frac{P(B\cap E_A)}{P(E_A)},P(C\mid E_A)=\frac{P(C\cap E_A)}{P(E_A)}$이므로 먼저 분모인 $\displaystyle P(E_A)$를 계산하면,$\displaystyle \begin{aligned}P(E_A)&=P(E_A\cap A)+P(E_A\cap B)+P(E_B\cap C)\\&=P(A)P(E_A\mid A)+P(B)P(E_A\mid B)+P(C)P(E_A\mid C)\\&=\frac{1}{3}\cdot\beta_A+\frac{1}{3}\cdot1+\frac{1}{3}\cdot1\\&=\frac{1}{3}(\beta_A+2)\end{aligned}$Correction. 첫 등식의 마지막 항 $\displaystyle P(E_B\cap C)$는 $\displaystyle P(E_A\cap C)$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이다. 그러므로 구하고자 하는 조건부확률 값은 다음과 같다.$\displaystyle P(A\mid E_A)=\frac{P(A\cap E_A)}{P(E_A)}=\frac{P(A)P(E_A\mid A)}{P(E_A)}=\frac{1/3\cdot\beta_A}{1/3\cdot(\beta_A+2)}=\frac{\beta_A}{(\beta_A+2)}$$\displaystyle P(B\mid E_A)=P(C\mid E_A)=\frac{1/3\cdot1}{1/3\cdot(\beta_A+2)}=\frac{1}{(\beta_A+2)}$한편, 문제에서 주어진 조건으로부터 $\displaystyle 0<\beta_A<1$이므로$\displaystyle P(A\mid E_A)<P(B\mid E_A)=P(C\mid E_A)$이 성립한다. 그러므로 사건 $\displaystyle E_A$가 발생한 시점에서는 $\displaystyle A$지역을 재수색하는 것보다 조건부확률 값이 더 큰 $\displaystyle B$나 $\displaystyle C$지역을 수색 대상으로 하는 것이 더 합리적이다.Comment. 발문의 ‘더 합리적’이라는 판단 기준은 명확하지 않다. 실종자가 있을 확률이 높은 지역을 택한다는 기준이면 예시답안처럼 B나 C가 맞다. 그러나 다음 수색에서 발견할 확률을 높이려는 기준이면 지역별 발견 확률도 고려해야 하므로, 주어진 조건만으로 B나 C가 항상 유리하다고 단정할 수는 없다.