자연계열 2번

(2-1) (배점 30%)바닥면과 측면간의 각도를 $\displaystyle \theta$로 두면사다리꼴의 높이 = $\displaystyle 5\sin\theta$사다리꼴의 밑변 = $\displaystyle b$사다리꼴의 윗변 = $\displaystyle b+10\cos\theta$이므로사다리꼴의 넓이 $\displaystyle A$는 $\displaystyle A=5\sin\theta(b+5\cos\theta)$이다.

(2-2) (배점 30%)$\displaystyle \theta>\frac{\pi}{2}$이면 단면의 넓이가 직사각형의 넓이 $\displaystyle 5b$보다 작아지므로 넓이가 최대가 되기 위해서는 $\displaystyle 0<\theta\le\frac{\pi}{2}$여야 한다.$\displaystyle 0<\theta\le\frac{\pi}{2}$일 때 사다리꼴의 넓이가 최대가 되려면 $\displaystyle \theta$에 대해서 미분한 값이 $\displaystyle 0$이 되어야 한다. 즉 단면적이 최대가 되려면 $\displaystyle \frac{dA}{d\theta}=50\cos^2\theta+5b\cos\theta-25=0$이 되어야 한다. ($\displaystyle 0<\theta\le\frac{\pi}{2}$에서 $\displaystyle \frac{d^2A}{d\theta^2}<0$이므로 $\displaystyle \frac{dA}{d\theta}=0$인 점에서 최댓값을 가진다.)Caution. 양수와 음이 아닌 수, 음수와 양이 아닌 수를 구별해야 한다: $\displaystyle b=0$이고 $\displaystyle \theta=\frac\pi2$이면 이계도함수는 $\displaystyle 0$이다. 따라서 제시된 구간 전체에서 이계도함수가 음수라고 할 수는 없다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \cos\theta$를 $\displaystyle X$로 치환하면 $\displaystyle 10X^2+bX-5=0$을 얻는다. 이 식의 두 근을 구한 후, $\displaystyle 0<\theta\le\frac{\pi}{2}$이므로 양의 근을 택한다.$\displaystyle \cos\theta=X=\frac{-b+\sqrt{b^2+200}}{20}$

(2-3) (배점 40%)$\displaystyle X$가 $\displaystyle b$에 대하여 증가하는지 감소하는지를 알아보기 위하여 $\displaystyle X$를 $\displaystyle b$에 대하여 미분하면 $\displaystyle \frac{dX}{db}=\frac{1}{20}\left(-1+\frac{b}{\sqrt{b^2+200}}\right)$이 되며 이 값은 $\displaystyle b\ge0$에서 항상 음이다. 즉 이 구간에서 감소한다. 따라서 $\displaystyle b=0$일 때 $\displaystyle X$의 최댓값 $\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$를, 즉 $\displaystyle \theta$의 최솟값 $\displaystyle \frac{\pi}{4}$를 갖는다. 또한, $\displaystyle \lim_{b\to\infty}X=0$이므로 $\displaystyle b\to\infty$일 때 $\displaystyle \theta\to\frac{\pi}{2}$이다. 따라서 구하는 $\displaystyle \theta$의 범위는 $\displaystyle \frac{\pi}{4}\le\theta<\frac{\pi}{2}$이다.