자연계열 3번

(3-1) (배점 40%)거리와 속도의 관계에 의해 $\displaystyle s=\int v_y(t)dt=\frac{1}{2}gt^2.$연직 운동과 수평 운동은 서로 영향을 주지 않고 공기의 저항을 무시하므로 수평 방향으로 대포를 발사한 후 지표면에 닿을 때까지 걸린 시간과 연직 아래방향으로 자유 낙하 운동을 하는 경우에서의 낙하 시간은 같다. 따라서 연직 방향의 식만 가지고도 높이를 계산할 수 있다. 따라서 봉우리의 높이는 대포를 발사한 때부터 지표면에 닿을 때까지 연직 아래방향으로 이동한 거리이고 이것은 다음과 같이 주어진다.$\displaystyle s=\frac{1}{2}gt^2=\frac{1}{2}\times10\times(2\sqrt{30})^2=600(\mathrm{m})$

(3-2) (배점 60%)길이의 단위를 km로 표현하면, 작은 봉우리(B)와 전망대(C)의 높이 차이는 $\displaystyle 0.5\mathrm{km}$이다. 산꼭대기(A)와 작은 봉우리(B)의 높이 차이(AA₁)를 $\displaystyle x$라 하면,삼각형 ABA₁에서 $\displaystyle AB=\frac{x}{\sin45^{\circ}}=\sqrt{2}x$, 삼각형 ACA₂에서 $\displaystyle AC=\frac{x+0.5}{\sin30^{\circ}}=2x+1$, $\displaystyle BC=2$이므로, 삼각형 ABC의 세변의 길이 모두를 $\displaystyle x$에 대한 식으로 쓸 수 있다.이제 코사인법칙을 적용하면 $\displaystyle x$에 대한 이차방정식을 얻는다.

$\displaystyle \cos B=\frac{AB^2+BC^2-CA^2}{2\cdot AB\cdot BC}=\frac{2x^2+4-(2x+1)^2}{2\cdot\sqrt{2}x\cdot2}=-\frac{1}{\sqrt{2}}$정리하면, $\displaystyle 2x^2-3=0$에서 $\displaystyle x=\frac{\sqrt{6}}{2}$이고, 작은 봉우리(B)의 높이를 더하면, 산꼭대기(A)의 높이는 $\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}+0.6(\mathrm{km})$이다.