자연계열 3번

국민대 2013학년도 수시2차 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/kookmin/2013su/jayeon_3

【문제 3】(배점 23%)아래의 제시문을 읽고 다음 물음에 답하시오.

(1) 지표면 근처에서 운동하는 모든 물체들의 속도는 수평성분과 연직성분으로 나누어 표현할 수 있고, 연직 아래방향으로는 일정한 중력가속도( $\displaystyle g=10(\mathrm{m}/\mathrm{s}^2)$ )가 작용한다. 지표면 근처에서, 처음 속도가 수평방향인 경우에는 물체의 운동속도의 성분들은 시간 $\displaystyle t$ 에 대해서 다음과 같이 주어진다.(수평성분) $\displaystyle v_x(t)=v_0$ ,　　(연직성분) $\displaystyle v_y(t)=gt$ 위 식에서 $\displaystyle v_0$ 는 처음 속도의 크기 즉, 처음 속력이다.(참고) 일차원 운동에서 어떤 물체가 시간 $\displaystyle t_0$ 에서 $\displaystyle t_1$ 까지 $\displaystyle v(t)$ 의 속력으로 이동한 거리는 아래와 같은 식으로 구할 수 있다. $\displaystyle s=\int_{t_0}^{t_1}v(t)dt$

(2) 직접 거리를 측정하기 어려운 두 지점의 거리를 알아낼 때 삼각함수가 유용하게 사용된다. 바닷가 마을에서 험준한 산의 높이를 알아내기 위하여 작은 봉우리(B)와 바닷면에서 $\displaystyle 100\mathrm{m}$ 높이의 전망대(C)를 이용하고자 한다. 기존에 알려진 측량에 의하여 작은 봉우리(B)와 전망대(C)까지의 거리는 $\displaystyle 2\mathrm{km}$ 임이 알려져 있다. 작은 봉우리(B)에서 산꼭대기(A)를 올려다 본 각( $\displaystyle \angle\mathrm{ABA}_1$ )은 $\displaystyle 45^{\circ}$ 이고, 마을의 전망대(C)에서 산꼭대기(A)를 올려다 본 각( $\displaystyle \angle\mathrm{ACA}_2$ )은 $\displaystyle 30^{\circ}$ 이다. 또한, 작은 봉우리(B)에서 산꼭대기(A)와 전망대(C)를 바라 본 사잇각( $\displaystyle \angle\mathrm{ABC}$ )을 측정한 결과 $\displaystyle 135^{\circ}$ 임을 알 수 있었다.

(3-1) 높이를 측정하기 위하여 작은 봉우리(B)에서 무게 $\displaystyle 1\mathrm{kg}$ 의 포탄을 수평방향으로 $\displaystyle 1(\mathrm{km}/\mathrm{s})$ 의 속도로 발사하였을 때 $\displaystyle 2\sqrt{30}$ 초 후에 바닷면에 도달했다. 작은 봉우리(B)의 높이는 바닷면을 기준으로 약 $\displaystyle 600\mathrm{m}$ 임을 설명하시오. 단, 연직 운동과 수평 운동은 서로 영향을 주지 않고, 공기의 저항은 무시할 만큼 작다고 가정한다(중력가속도는 $\displaystyle g=10(\mathrm{m}/\mathrm{s}^2)$ 을 이용하시오).

(3-2) 문제 (3-1)의 결과를 이용하여 바닷면을 기준으로 산꼭대기(A)의 높이를 구하시오.

해설강의 준비중

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(3-1) (배점 40%)거리와 속도의 관계에 의해 $\displaystyle s=\int v_y(t)dt=\frac{1}{2}gt^2.$ 연직 운동과 수평 운동은 서로 영향을 주지 않고 공기의 저항을 무시하므로 수평 방향으로 대포를 발사한 후 지표면에 닿을 때까지 걸린 시간과 연직 아래방향으로 자유 낙하 운동을 하는 경우에서의 낙하 시간은 같다. 따라서 연직 방향의 식만 가지고도 높이를 계산할 수 있다. 따라서 봉우리의 높이는 대포를 발사한 때부터 지표면에 닿을 때까지 연직 아래방향으로 이동한 거리이고 이것은 다음과 같이 주어진다. $\displaystyle s=\frac{1}{2}gt^2=\frac{1}{2}\times10\times(2\sqrt{30})^2=600(\mathrm{m})$

(3-2) (배점 60%)길이의 단위를 km로 표현하면, 작은 봉우리(B)와 전망대(C)의 높이 차이는 $\displaystyle 0.5\mathrm{km}$ 이다. 산꼭대기(A)와 작은 봉우리(B)의 높이 차이(AA₁)를 $\displaystyle x$ 라 하면,삼각형 ABA₁에서 $\displaystyle AB=\frac{x}{\sin45^{\circ}}=\sqrt{2}x$ , 삼각형 ACA₂에서 $\displaystyle AC=\frac{x+0.5}{\sin30^{\circ}}=2x+1$ , $\displaystyle BC=2$ 이므로, 삼각형 ABC의 세변의 길이 모두를 $\displaystyle x$ 에 대한 식으로 쓸 수 있다.이제 코사인법칙을 적용하면 $\displaystyle x$ 에 대한 이차방정식을 얻는다.

$\displaystyle \cos B=\frac{AB^2+BC^2-CA^2}{2\cdot AB\cdot BC}=\frac{2x^2+4-(2x+1)^2}{2\cdot\sqrt{2}x\cdot2}=-\frac{1}{\sqrt{2}}$ 정리하면, $\displaystyle 2x^2-3=0$ 에서 $\displaystyle x=\frac{\sqrt{6}}{2}$ 이고, 작은 봉우리(B)의 높이를 더하면, 산꼭대기(A)의 높이는 $\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}+0.6(\mathrm{km})$ 이다.

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