자연계열 3번

(3-1) 정상적인 $\displaystyle N-m$개의 안테나를 “$\displaystyle 0$”으로 나타내고, 불량인 $\displaystyle m$개의 안테나를 “$\displaystyle |$”으로 나타낸다. 불량인 안테나가 연속으로 배치되지 않게 하기 위해서는$\displaystyle \wedge0\wedge0\wedge0\wedge\cdots\wedge0\wedge0\wedge$과 같이 정상적인 안테나를 의미하는 $\displaystyle N-m$개의 “$\displaystyle 0$”을 일렬로 배치한 후, 처음과 마지막을 포함한 $\displaystyle N-m+1$개의 “$\displaystyle \wedge$”자리 중에서 $\displaystyle m$ 자리를 선택하여 “$\displaystyle |$”를 하나씩 놓아야 한다. 그러므로 $\displaystyle N-m+1$개에서 $\displaystyle m$개를 선택하는 조합의 수 $\displaystyle {}_{N-m+1}\mathrm{C}_{m}$이다.

(3-2) $\displaystyle y_i=x_i+1\ (1\le i\le r)$로 놓으면, $\displaystyle x_i$가 $\displaystyle 0$ 또는 양의 정수일 때, $\displaystyle y_i$는 반드시 양의 정수이다. 그러므로 방정식 $\displaystyle x_1+x_2+\cdots+x_r=N$에서 $\displaystyle 0$ 또는 양의 정수해의 개수는 $\displaystyle x_i=y_i-1$이므로 방정식$\displaystyle (y_1-1)+(y_2-1)+\cdots+(y_r-1)=N,$$\displaystyle y_1+y_2+\cdots+y_r=N+r$에서 양의 정수해 $\displaystyle (y_1,y_2,\ldots,y_r)$의 개수인 $\displaystyle {}_{N+r-1}\mathrm{C}_{r-1}$이다.

(3-3) $\displaystyle 100$만 원을 기본 투자 단위로 하고 $\displaystyle 4$종목까지 분산 투자하는 것이므로, 투자전략 $\displaystyle (m_1,m_2,m_3,m_4)$의 개수는 방정식 $\displaystyle x_1+x_2+x_3+x_4=20$에서 $\displaystyle 0$ 또는 양의 정수해의 개수와 같다. 그러므로 문제 (3-2)의 결과에 $\displaystyle N=20$과 $\displaystyle r=4$를 대입하면$\displaystyle {}_{23}\mathrm{C}_{3}=\frac{23\cdot22\cdot21}{3\cdot2\cdot1}=1771$가지이다.

(3-4) $\displaystyle 100$만 원을 기본 투자 단위로 하고 $\displaystyle 4$종목까지 투자하되, 투자하지 않고 남겨두는 $\displaystyle 100$만 원 단위의 개수를 변수 $\displaystyle x_5$로 놓는다. 이 때, 투자전략의 개수는 방정식 $\displaystyle x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=20$에서 $\displaystyle 0$ 또는 양의 정수해의 개수가 되므로 문제 (3-2)의 결과에 $\displaystyle N=20$과 $\displaystyle r=5$를 대입하면$\displaystyle {}_{24}\mathrm{C}_{4}=\frac{24\cdot23\cdot22\cdot21}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=10626$가지이다.