약학과 1번

1-1문제에서 주어진 조건에 따라 B의 좌표는 $\displaystyle (g(x),g(g(x)))$가 되므로 $\displaystyle h(x)=g(g(x))$가 된다. 따라서 구하고자 하는 접선의 방정식은 점 $\displaystyle (3,h(3))$을 지나고 기울기가 $\displaystyle h(3)$인 직선의 방정식인Correction. 접선의 기울기 $\displaystyle h(3)$은 $\displaystyle h^{\prime}(3)$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle y=h^{\prime}(3)(x-3)+h(3)$이 된다. 이 때, 합성함수의 미분법에 의해 $\displaystyle h^{\prime}(x)=g^{\prime}(g(x))g^{\prime}(x)$로 구할 수 있다. 한편, $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle f(x)$의 역함수이므로 역함수의 미분법에 의하여$\displaystyle g^{\prime}(x)=\frac1{f^{\prime}(g(x))}$가 된다. 먼저 $\displaystyle g(3)=p$이라고 가정하면$\displaystyle \begin{gathered}f(p)=3\\p^3+p+1=3\\(p-1)(p^2+p+2)=0\end{gathered}$이므로 $\displaystyle p=1$, 즉 $\displaystyle g(3)=1$이 된다. 다음으로 $\displaystyle g(1)=q$이라고 가정하면$\displaystyle \begin{gathered}f(q)=1\\q^3+q+1=1\\q(q^2+1)=0\end{gathered}$이므로 $\displaystyle q=0$, 즉 $\displaystyle g(1)=0$이 된다. 따라서$\displaystyle h(3)=g(g(3))=g(1)=0$$\displaystyle h^{\prime}(3)=g^{\prime}(g(3))g^{\prime}(3)=g^{\prime}(1)g^{\prime}(3)=\frac1{f^{\prime}(g(1))}\times\frac1{f^{\prime}(g(3))}$$\displaystyle =\frac1{f^{\prime}(0)}\times\frac1{f^{\prime}(1)}=1\times\left(\frac14\right)=\frac14$이므로 구하고자 하는 방정식은$\displaystyle y=\frac14(x-3)$이 된다.

1-2포물선의 접선 중 문제 [1-1]의 접선과 기울기가 같은 접선을 구하여, 이 때 포물선과 접선의 교점과 문제 [1-1]의 접선과의 거리를 구하면 된다. 포물선의 접선의 기울기를 $\displaystyle m=\frac14$, 접하는 점을 $\displaystyle (x_1,y_1)$이라고 하면$\displaystyle 2sy_1m=-1,\;y_1=-\frac1{2sm}=-\frac2s$$\displaystyle x_1=-sy_1^2+3-\frac4s-\sqrt{17}=3-\frac8s-\sqrt{17}$이 된다. 문제 [1-1]의 접선을 다시 적으면 $\displaystyle x-4y-3=0$이 되므로 점과 직선 사이의 거리의 공식을 이용하면 거리의 최솟값 $\displaystyle d$는$\displaystyle d=\frac{\left|3-\frac8s-\sqrt{17}-4\left(-\frac2s\right)-3\right|}{\sqrt{1^2+4^2}}=\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}=1$이 된다.

1-3점 $\displaystyle \mathrm{P}_0$을 중심으로 하는 원의 반지름은 $\displaystyle d=1$이 된다. 또한, 점 D의 좌표는 포물선 위의 점 $\displaystyle \left(3-\frac8s-\sqrt{17},\frac2s\right)$이 되므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{P}_0\mathrm{D}}=\frac4s$가 된다.1) $\displaystyle s<4$일 때포물선 위의 점 D는 주어진 원 외부에 위치하며, 삼각형 QCD는 이등변삼각형이 되므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{CQ}}=\overline{\mathrm{DQ}}=k$라고 하면$\displaystyle \overline{\mathrm{P}_0\mathrm{Q}}=\overline{\mathrm{P}_0\mathrm{C}}+\overline{\mathrm{CQ}}=1+k$Caution. $\displaystyle \overline{P_0Q}=\overline{P_0C}+\overline{CQ}=1+k$는 점의 순서가 바뀌면 성립하지 않는다. 쌍곡선의 두 가지를 나누어 $\displaystyle |\overline{P_0Q}-\overline{DQ}|=1$을 확인해야 하며, 두 직선이 평행하여 교점 $\displaystyle Q$가 없는 경우는 제외해야 한다.이다. 따라서 $\displaystyle |\overline{\mathrm{P}_0\mathrm{Q}}-\overline{\mathrm{DQ}}|=1$로 일정하므로 점 Q가 그리는 도형은 점 $\displaystyle \mathrm{P}_0$과 점 D로부터의 거리의 차가 1인 쌍곡선이 된다. 따라서 쌍곡선의 방정식을 아래와 같이 구할 수 있다.$\displaystyle \frac{\left(x-3+\frac8s+\sqrt{17}\right)^2}{\frac4{s^2}-\frac14}-\frac{y^2}{\frac14}=-1$$\displaystyle \frac{(sx-3s+8+s\sqrt{17})^2}{16-s^2}-y^2=-\frac14$2) $\displaystyle s=4$일 때포물선 위의 점 D는 주어진 원 위에 위치하며, 1)과 마찬가지로 삼각형 QCD은 이등변삼각형이 된다. 또한 CD의 수직이등분선이 항상 원의 중심 $\displaystyle \mathrm{P}_0$을 지나므로 $\displaystyle \mathrm{Q}=\mathrm{P}_0$가 된다.3) $\displaystyle s>4$일 때포물선 위의 점 D는 주어진 원 내부에 위치하며, 1)과 마찬가지로 삼각형 QCD은 이등변삼각형이 되므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{CQ}}=\overline{\mathrm{DQ}}=k$라고 하면$\displaystyle \overline{\mathrm{P}_0\mathrm{Q}}=\overline{\mathrm{P}_0\mathrm{C}}-\overline{\mathrm{CQ}}=1-k$이다. 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{P}_0\mathrm{Q}}+\overline{\mathrm{DQ}}=1$로 일정하므로 점 Q가 그리는 도형은 점 $\displaystyle \mathrm{P}_0$과 점 D로부터의 거리의 합이 1인 타원이 된다. 따라서 타원의 방정식을 아래와 같이 구할 수 있다.$\displaystyle \frac{\left(x-3+\frac8s+\sqrt{17}\right)^2}{\frac14-\frac4{s^2}}+\frac{y^2}{\frac14}=1$$\displaystyle \frac{(sx-3s+8+s\sqrt{17})^2}{s^2-16}+y^2=\frac14$