약학과 3번

고려대 세종캠퍼스 2022학년도 수시 약학과 3번 · mathesis.kr/archive/korea-sejong/2022su/yak_3

3. 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

<가> 양의 실수에서 정의되고 연속인 이계도함수를 갖는 함수 $\displaystyle y=f(x)$ 에 대하여 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)>0$ 이고, [그림 1]과 같이 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 두 점 $\displaystyle \mathrm{A}(\alpha,f(\alpha))$ 와 $\displaystyle \mathrm{B}(t,f(t))$ 에서 접선을 그었을 때 두 접선 $\displaystyle \ell_0$ 과 $\displaystyle \ell$ 이 점 C에서 만난다. 접선 $\displaystyle \ell_0$ 의 $\displaystyle y$ 절편을 $\displaystyle s_0$ , 그리고 접선 $\displaystyle \ell$ 의 $\displaystyle y$ 절편을 $\displaystyle h(t)$ 로 한다.

<나> [그림 2]와 같이 직선 $\displaystyle \ell^{\prime}$ 의 $\displaystyle x$ 절편과 $\displaystyle y$ 절편을 각각 $\displaystyle a$ 와 $\displaystyle b$ 라 하자. 이때 $\displaystyle a$ 와 $\displaystyle b$ 는 다음을 만족한다. $\displaystyle 0<a<1,\;0<b<1,\;a+b=1$

<다> 어떤 구간에서 정의된 연속함수가 감소(또는 증가)하면 역함수가 존재하고 그 역함수도 연속함수가 된다.

3-1. 제시문 <가>에서 주어진 함수 $\displaystyle h(t)$ 의 연속성, 미분가능성, 도함수의 성질에 관하여 논술하고, 이를 이용하여 함수 $\displaystyle h(t)$ 의 역함수 $\displaystyle h^{-1}(t)$ 의 존재성과 극한값 $\displaystyle \lim_{s\to s_0}h^{-1}(s)$ 에 관하여 논술하시오. [30점]

3-2. 두 실수 $\displaystyle c,d$ (단, $\displaystyle 0<c<d<1$ )에 대하여 제시문 <나>의 직선과 같은 성질을 갖고 $\displaystyle x$ 절편이 각각 $\displaystyle c$ 와 $\displaystyle d$ 인 두 직선의 방정식과 그 교점을 구하시오. [10점]

3-3. 함수 $\displaystyle y=g(x)$ 가 0과 1 사이에서 연속인 이계도함수를 갖고 $\displaystyle g^{\prime\prime}(x)>0$ 을 만족한다. 곡선 $\displaystyle y=g(x)\;(0<x<1)$ 위 모든 점에서의 접선이 제시문 <나>의 직선과 같은 성질을 가질 때, 함수 $\displaystyle y=g(x)\;(0<x<1)$ 를 구하시오. [30점]

3-4. 문제 [3-3]의 함수 $\displaystyle g(x)$ 가 닫힌구간 $\displaystyle [0,1]$ 에서 연속일 때 $\displaystyle x=0$ 과 $\displaystyle x=1$ 에서의 함숫값을 찾고 두 곡선 $\displaystyle y=g(x)$ , $\displaystyle y=4x^2$ 과 $\displaystyle x$ 축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오. [20점]

해설강의 준비중

고려대 세종캠퍼스 2022학년도 수시 약학과 3번 · mathesis.kr/archive/korea-sejong/2022su/yak_3

+6점 · 점

\displaystyle x=t

에서 곡선

\displaystyle y=f(x)

의 접선의 방정식:

\displaystyle y=f^{\prime}(t)(x-t)+f(t)

도출

3-1점 $\displaystyle x=t$ 에서 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 의 접선의 방정식은 다음과 같다. $\displaystyle y=f^{\prime}(t)(x-t)+f(t)$

+6점 · 위 접선의

\displaystyle y

절편

\displaystyle h(t)

\displaystyle h(t)=-tf^{\prime}(t)+f(t)

도출

위 접선의 $\displaystyle y$ 절편 $\displaystyle h(t)$ 를 구하면 다음과 같다. $\displaystyle h(t)=-tf^{\prime}(t)+f(t)$

+6점 · ‘함수

\displaystyle h(t)

는 연속함수이고, 미분가능하며 도함수가 연속이라는 사실을 알 수 있다.’ 서술

위로부터 함수 $\displaystyle h(t)$ 는 연속함수이고, 미분가능하며 도함수가 연속이라는 사실을 알 수 있다.

+6점 · ‘

\displaystyle h^{\prime}(t)=-tf^{\prime\prime}(t)<0

이므로 함수

\displaystyle h(t)

는 감소함수이다.’ 서술

뿐만 아니라 $\displaystyle h^{\prime}(t)=-tf^{\prime\prime}(t)<0$ 이므로 함수 $\displaystyle h(t)$ 는 감소함수이다.

+6점 · 제시문 <다>를 활용하여 ‘함수

\displaystyle h(t)

의 역함수가 존재하고’에 의해서 함수

\displaystyle h^{-1}(s)

도 연속임을 서술

따라서 함수 $\displaystyle h(t)$ 의 역함수가 존재하고 제시문 <다>에 의해서 함수 $\displaystyle h^{-1}(s)$ 도 연속임을 알 수 있다. 함수 $\displaystyle h^{-1}(s)$ 가 연속이므로 $\displaystyle \lim_{s\to s_0}h^{-1}(s)=h^{-1}(s_0)=\alpha$ 가 된다.

+5점 · 직선의 방정식:

\displaystyle \frac xc+\frac y{1-c}=1

\displaystyle \frac xd+\frac y{1-d}=1\;(0<c<d<1)

서술

3-2 $\displaystyle 0<c<d<1$ 인 실수 $\displaystyle c$ 와 $\displaystyle d$ 에 대하여 직선 $\displaystyle \ell^{\prime}$ 과 같은 성질을 갖는 직선의 방정식은 각각 다음과 같다. $\displaystyle \frac xc+\frac y{1-c}=1,\quad\frac xd+\frac y{1-d}=1$

+5점 · 교점:

\displaystyle x=cd

\displaystyle y=(1-c)(1-d)=1-(c+d)+cd

서술

$\displaystyle x,y$ 에 관한 연립방정식을 풀면 다음과 같은 해를 얻는다. $\displaystyle x=cd,\quad y=(1-c)(1-d)=1-(c+d)+cd.$

+6점 · 문제 [3-2]에서

\displaystyle x

절편이

\displaystyle d

인 직선의

\displaystyle y

절편은

\displaystyle 1-d

인데 극한

\displaystyle \lim_{d\to c}

에 의해서

\displaystyle 1-c

즉,

\displaystyle x

절편이

\displaystyle c

인 직선의

\displaystyle y

절편으로 수렴함을 서술

3-3문제 [3-2]에서 $\displaystyle x$ 절편이 $\displaystyle d$ 인 직선의 $\displaystyle y$ 절편은 $\displaystyle 1-d$ 인데 극한 $\displaystyle \lim_{d\to c}$ 에 의해서 $\displaystyle 1-c$ 즉, $\displaystyle x$ 절편이 $\displaystyle c$ 인 직선의 $\displaystyle y$ 절편으로 수렴한다.

+6점 · 문제 [3-1]에 의해서

\displaystyle y

절편의 수렴은 접점의 수렴을 의미함을 서술

문제 [3-1]에 의해서 $\displaystyle y$ 절편의 수렴은 접점의 수렴을 의미한다.

+6점 · 제시문 <가>의 [그림 1]에서와 같이 두 접선의 교점은 접점 사이에 놓여있어서 극한

\displaystyle \lim_{d\to c}

에 의해서 교점은

\displaystyle x

절편이

\displaystyle c

인 접선의 접점으로 수렴함을 서술

제시문 <가>의 [그림 1]에서와 같이 두 접선의 교점은 접점 사이에 놓여있다. 따라서 극한 $\displaystyle \lim_{d\to c}$ 에 의해서 교점은 $\displaystyle x$ 절편이 $\displaystyle c$ 인 접선의 접점으로 수렴한다. 이러한 방식으로 곡선 위의 점에 관한 매개변수 방정식을 얻을 수 있다.

+6점 ·

\displaystyle x=c^2

\displaystyle y=1-2c+c^2\;(0<c<1)

서술

실제 $\displaystyle x$ 절편이 $\displaystyle c$ 인 접선의 접점은 문제 [3-2]의 교점에 극한 $\displaystyle \lim_{d\to c}$ 를 취하면 다음을 얻는다. $\displaystyle x=c^2,\quad y=1-2c+c^2\;(0<c<1)$ 앞에서 설명했듯이 이 관계식이 함수 $\displaystyle g(x)$ 의 매개변수 방정식이다.

+6점 ·

\displaystyle g(x)=1-2\sqrt x+x

이다. 도출

이 방정식을 풀어서 매개변수 $\displaystyle c$ 를 없애면 $\displaystyle x$ 와 $\displaystyle y$ 사이의 관계식 $\displaystyle y=1-2\sqrt x+x$ 얻을 수 있고 이것이 함수 $\displaystyle g(x)$ 가 된다. 따라서 $\displaystyle g(x)=1-2\sqrt x+x\;(0<x<1)$ 이다.

+5점 ·

\displaystyle x=0

에서의 함숫값은 1,

\displaystyle x=1

에서의 함숫값은 0 서술

3-4 $\displaystyle x=0$ 에서의 함숫값은 1이고 $\displaystyle x=1$ 에서의 함숫값은 0이다.

+5점 ·

\displaystyle 4x^2=1-2\sqrt x+x

도출

먼저 두 그래프의 교점을 구하기 위한 방정식 $\displaystyle g(x)=h(x)$ 는 다음과 같다.Correction. 여기서는 두 곡선의 교점을 구하는 식 $\displaystyle g(x)=4x^2$ 를 뜻한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다. $\displaystyle 4x^2=1-2\sqrt x+x$

+5점 ·

\displaystyle X=\sqrt x

라 놓으면

\displaystyle 4X^4-X^2+2X-1=(2X-1)(X+1)(2X^2-X+1)=0\Rightarrow X=\frac12\;(\because X>0)

따라서

\displaystyle x=\frac14

도출

$\displaystyle X=\sqrt x$ 라 놓으면 다음을 얻는다. $\displaystyle 4X^4-X^2+2X-1=(2X-1)(X+1)(2X^2-X+1)=0\Rightarrow X=\frac12\;(\because X>0)$ 따라서 $\displaystyle x=\frac14$ 이다.

+5점 · 두 곡선

\displaystyle y=g(x)

\displaystyle y=4x^2

와

\displaystyle x

축으로 둘러싸인 도형의 넓이

\displaystyle \int_0^{\frac14}4x^2dx+\int_{\frac14}^1(1-2\sqrt x+x)dx=\frac7{96}

도출

두 곡선 $\displaystyle y=g(x)$ , $\displaystyle y=4x^2$ 와 $\displaystyle x$ 축으로 둘러싸인 도형의 넓이는 $\displaystyle \int_0^{\frac14}4x^2dx+\int_{\frac14}^1(1-2\sqrt x+x)dx=\frac7{96}$

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