약학과 3번

3-1점 $\displaystyle x=t$에서 곡선 $\displaystyle y=f(x)$의 접선의 방정식은 다음과 같다.$\displaystyle y=f^{\prime}(t)(x-t)+f(t)$위 접선의 $\displaystyle y$절편 $\displaystyle h(t)$를 구하면 다음과 같다.$\displaystyle h(t)=-tf^{\prime}(t)+f(t)$위로부터 함수 $\displaystyle h(t)$는 연속함수이고, 미분가능하며 도함수가 연속이라는 사실을 알 수 있다. 뿐만 아니라 $\displaystyle h^{\prime}(t)=-tf^{\prime\prime}(t)<0$이므로 함수 $\displaystyle h(t)$는 감소함수이다. 따라서 함수 $\displaystyle h(t)$의 역함수가 존재하고 제시문 <다>에 의해서 함수 $\displaystyle h^{-1}(s)$도 연속임을 알 수 있다. 함수 $\displaystyle h^{-1}(s)$가 연속이므로$\displaystyle \lim_{s\to s_0}h^{-1}(s)=h^{-1}(s_0)=\alpha$가 된다.

3-2$\displaystyle 0<c<d<1$인 실수 $\displaystyle c$와 $\displaystyle d$에 대하여 직선 $\displaystyle \ell^{\prime}$과 같은 성질을 갖는 직선의 방정식은 각각 다음과 같다.$\displaystyle \frac xc+\frac y{1-c}=1,\quad\frac xd+\frac y{1-d}=1$$\displaystyle x,y$에 관한 연립방정식을 풀면 다음과 같은 해를 얻는다.$\displaystyle x=cd,\quad y=(1-c)(1-d)=1-(c+d)+cd.$

3-3문제 [3-2]에서 $\displaystyle x$절편이 $\displaystyle d$인 직선의 $\displaystyle y$절편은 $\displaystyle 1-d$인데 극한 $\displaystyle \lim_{d\to c}$에 의해서 $\displaystyle 1-c$ 즉, $\displaystyle x$절편이 $\displaystyle c$인 직선의 $\displaystyle y$절편으로 수렴한다. 문제 [3-1]에 의해서 $\displaystyle y$절편의 수렴은 접점의 수렴을 의미한다. 제시문 <가>의 [그림 1]에서와 같이 두 접선의 교점은 접점 사이에 놓여있다. 따라서 극한 $\displaystyle \lim_{d\to c}$에 의해서 교점은 $\displaystyle x$절편이 $\displaystyle c$인 접선의 접점으로 수렴한다. 이러한 방식으로 곡선 위의 점에 관한 매개변수 방정식을 얻을 수 있다. 실제 $\displaystyle x$절편이 $\displaystyle c$인 접선의 접점은 문제 [3-2]의 교점에 극한 $\displaystyle \lim_{d\to c}$를 취하면 다음을 얻는다.$\displaystyle x=c^2,\quad y=1-2c+c^2\;(0<c<1)$앞에서 설명했듯이 이 관계식이 함수 $\displaystyle g(x)$의 매개변수 방정식이다. 이 방정식을 풀어서 매개변수 $\displaystyle c$를 없애면 $\displaystyle x$와 $\displaystyle y$사이의 관계식 $\displaystyle y=1-2\sqrt x+x$얻을 수 있고 이것이 함수 $\displaystyle g(x)$가 된다. 따라서 $\displaystyle g(x)=1-2\sqrt x+x\;(0<x<1)$이다.

3-4$\displaystyle x=0$에서의 함숫값은 1이고 $\displaystyle x=1$에서의 함숫값은 0이다.먼저 두 그래프의 교점을 구하기 위한 방정식 $\displaystyle g(x)=h(x)$는 다음과 같다.Correction. 여기서는 두 곡선의 교점을 구하는 식 $\displaystyle g(x)=4x^2$를 뜻한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle 4x^2=1-2\sqrt x+x$$\displaystyle X=\sqrt x$라 놓으면 다음을 얻는다.$\displaystyle 4X^4-X^2+2X-1=(2X-1)(X+1)(2X^2-X+1)=0\Rightarrow X=\frac12\;(\because X>0)$따라서 $\displaystyle x=\frac14$이다. 두 곡선 $\displaystyle y=g(x)$, $\displaystyle y=4x^2$와 $\displaystyle x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이는$\displaystyle \int_0^{\frac14}4x^2dx+\int_{\frac14}^1(1-2\sqrt x+x)dx=\frac7{96}$