수리논술, 이게 다다.

약학과 4번

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고려대 세종캠퍼스 2022학년도 수시 약학과 4번 · mathesis.kr/archive/korea-sejong/2022su/yak_4

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문제

4. 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

<가> 어느 공장에서 생산되는 제품 하나의 무게는 평균이 m\displaystyle m이고 표준편차가 σ\displaystyle \sigma인 정규분포를 따른다고 한다. 이 공장에서는 매일 15000개의 제품을 생산하고 제품 1개의 무게가 m−2σ\displaystyle m-2\sigma 이하이거나 m+2σ\displaystyle m+2\sigma 이상인 제품은 불량품으로 판정한다. (단, 무게의 단위는 kg이다)

<나><표준정규분포표>

z\displaystyle zP(0≤Z≤z)\displaystyle \mathrm{P}(0\le Z\le z)
1.00.34
1.50.43
2.00.48

<다> 2, 4, 8이 각각 하나씩 적힌 3장의 카드가 있다. 각각의 카드를 선택할 확률은 P(Z≤−1.5)\displaystyle \mathrm{P}(Z\le-1.5), P(−1.5≤Z≤2)\displaystyle \mathrm{P}(-1.5\le Z\le2), P(Z≥2)\displaystyle \mathrm{P}(Z\ge2)이다. 임의로 선택한 카드에서 나온 수를 a\displaystyle a라 할 때, f(x)=log⁡8x\displaystyle f(x)=\log_8x, g(x)=log⁡a(x2)\displaystyle g(x)=\log_a\left(\frac x2\right)라 하자. (단, Z\displaystyle Z는 표준정규분포를 따르는 확률변수이다)

4-1. 제시문 <가>의 공장에서 생산되는 제품 한 개의 무게를 확률변수 X\displaystyle X라 하자. P(∣X−m∣≤6)=0.96\displaystyle \mathrm{P}(|X-m|\le6)=0.96, P(X≥22)=0.84\displaystyle \mathrm{P}(X\ge22)=0.84일 때 m,σ\displaystyle m,\sigma를 구하시오. [15점]

4-2. 제시문 <가>의 공장에서 하루에 생산되는 15000개의 제품 중에서 불량품의 개수가 n\displaystyle n보다 클 확률이 0.02일 때, n\displaystyle n을 구하시오. [25점]

4-3. 1000일 중 제시문 <가>의 공장에서 하루에 생산되는 15000개의 제품 중에서 불량품의 개수가 문제 [4-2]의 n\displaystyle n보다 크게 되는 날짜의 수에 대하여 논술하시오. [15점]

4-4. x\displaystyle x축에 평행한 직선 y=t\displaystyle y=t와 제시문 <다>의 두 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x), y=g(x)\displaystyle y=g(x)의 교점을 각각 P, Q라 할 때, h(t)=PQ‾\displaystyle h(t)=\overline{\mathrm{PQ}}이다. t≥1\displaystyle t\ge1에서 함수 h(t)\displaystyle h(t)의 최솟값이 1 이상일 확률을 구하시오. [25점]

해설강의 준비중

고려대 세종캠퍼스 2022학년도 수시 약학과 4번 · mathesis.kr/archive/korea-sejong/2022su/yak_4

+5점 · P(∣X−m∣σ≤6σ)=0.96\displaystyle \mathrm{P}\left(\frac{|X-m|}\sigma\le\frac6\sigma\right)=0.96을 P(∣Z∣≤6σ)=0.96\displaystyle \mathrm{P}\left(|Z|\le\frac6\sigma\right)=0.96으로 전환

4-11) P(∣X−m∣≤6)=0.96\displaystyle \mathrm{P}(|X-m|\le6)=0.96에 의해P(∣X−m∣σ≤6σ)=0.96\displaystyle \mathrm{P}\left(\frac{|X-m|}\sigma\le\frac6\sigma\right)=0.96이고 P(∣Z∣≤6σ)=0.96\displaystyle \mathrm{P}\left(|Z|\le\frac6\sigma\right)=0.96이다.

+5점 · P(∣X−m∣≤6)=0.96\displaystyle \mathrm{P}(|X-m|\le6)=0.96 조건을 이용하여 σ=3\displaystyle \sigma=3을 계산

P(0≤Z≤6σ)=0.48\displaystyle \mathrm{P}\left(0\le Z\le\frac6\sigma\right)=0.48이고 P(0≤Z≤2)=0.48\displaystyle \mathrm{P}(0\le Z\le2)=0.48이므로 6σ=2\displaystyle \frac6\sigma=2이다. ∴σ=3\displaystyle \therefore\sigma=3

+5점 · P(X≥22)=0.84\displaystyle \mathrm{P}(X\ge22)=0.84 조건과 σ=3\displaystyle \sigma=3을 이용하여 m=25\displaystyle m=25를 계산

2) P(X>22)=0.84\displaystyle \mathrm{P}(X>22)=0.84에 의해 P(Z>22−m3)=0.84\displaystyle \mathrm{P}\left(Z>\frac{22-m}3\right)=0.84이다.P(Z>−1)=0.84\displaystyle \mathrm{P}(Z>-1)=0.84이므로 22−m3=−1\displaystyle \frac{22-m}3=-1이다. ∴m=25\displaystyle \therefore m=25

+5점 · 불량품이 나올확률 0.04를 계산

4-2m=25\displaystyle m=25, σ=3\displaystyle \sigma=3이므로 X\displaystyle X는 정규분포 N(25,32)\displaystyle N(25,3^2)을 따른다. 불량품이 나올 확률을 계산하면P(X>31)+P(X<19)=P(Z>31−253)+P(Z<19−253)=2P(Z>2)=2(0.5−0.48)=0.04———–①\displaystyle \begin{aligned}\mathrm{P}(X>31)+\mathrm{P}(X<19)&=\mathrm{P}\left(Z>\frac{31-25}3\right)+\mathrm{P}\left(Z<\frac{19-25}3\right)\\&=2\mathrm{P}(Z>2)\\&=2(0.5-0.48)\\&=0.04\quad\text{-----------①}\end{aligned}이다.

+5점 · 불량품의 개수를 확률변수 Y\displaystyle Y로 잡고 이항분포를 따른다고 도출
+5점 · B(15000,0.04)\displaystyle B(15000,0.04)을 계산

하루에 생산된 제품 15000개 중에서 불량품의 개수를 확률변수 Y\displaystyle Y라 하자.①에 의하여 제품 각각의 불량품일 확률이 0.04이므로 Y\displaystyle Y는 이항분포 B(15000,0.04)\displaystyle B(15000,0.04)를 따른다. 따라서 Y\displaystyle Y의 평균과 표준편차는E(Y)=15000×0.04=600,  σ(Y)=15000×0.04×0.96=24\displaystyle \mathrm{E}(Y)=15000\times0.04=600,\;\sigma(Y)=\sqrt{15000\times0.04\times0.96}=24이다.

+5점 · Y\displaystyle Y가 N(600,242)\displaystyle N(600,24^2)를 따른다는 것을 도출

15000은 충분히 큰 수이므로 Y\displaystyle Y는 근사적으로 정규분포 N(600,242)\displaystyle N(600,24^2)을 따른다.P(Y>n)=0.02\displaystyle \mathrm{P}(Y>n)=0.02인 n\displaystyle n을 구하기 위해 P(Y>n)=P(Z>n−60024)\displaystyle \mathrm{P}(Y>n)=\mathrm{P}\left(Z>\frac{n-600}{24}\right)를 만족하는 n\displaystyle n을 찾아야 하고, 표준정규분포표를 이용하면 P(Z>2)=0.02\displaystyle \mathrm{P}(Z>2)=0.02이므로 n−60024=2\displaystyle \frac{n-600}{24}=2이다.

+5점 · n=648\displaystyle n=648을 계산

따라서 n=648\displaystyle n=648이다.

+5점 · 불량품이 n\displaystyle n개 초과하는 날의 수를 확률변수 T\displaystyle T로 설정

4-31000일의 기간 중 불량품이 n\displaystyle n개 초과하는 날의 수를 확률변수 T\displaystyle T라 하자. 문제 [4-2]에 의하여 하루에 발생하는 불량품이 n\displaystyle n을 초과하는 확률이 0.02이므로 T\displaystyle T는 이항분포 B(1000,0.02)\displaystyle \mathrm{B}(1000,0.02)를 따른다.

+5점 · E(T)=20\displaystyle \mathrm{E}(T)=20을 계산

그러므로 E(T)=1000×0.02=20\displaystyle \mathrm{E}(T)=1000\times0.02=20이고 V(T)=1000×0.02×0.98=19.6\displaystyle \mathrm{V}(T)=1000\times0.02\times0.98=19.6이므로 4<σ(T)<5\displaystyle 4<\sigma(T)<5이다.

+5점 · 기댓값은 20일이라고 도출

1000일 중 불량품이 648개가 초과되는 날의 기댓값은 20일이다.

+7점 · a=2\displaystyle a=2일 때는 h(t)\displaystyle h(t)는 t=1\displaystyle t=1일 때 최솟값 h(1)=4\displaystyle h(1)=4임을 유도

4-4f(x)\displaystyle f(x)와 g(x)\displaystyle g(x)의 역함수를 고려하면 h(t)\displaystyle h(t)는 x=t\displaystyle x=t가 F(x)=8x\displaystyle F(x)=8^x와 G(x)=2ax\displaystyle G(x)=2a^x가 만나는 점 사이의 거리이다.a=2\displaystyle a=2일 때는 [그림 1]처럼 h(t)\displaystyle h(t)는 t=1\displaystyle t=1일 때 최소이고 h(1)=8−4=4\displaystyle h(1)=8-4=4.

+7점 · a=4\displaystyle a=4일 때는 h(t)\displaystyle h(t)는 t=1\displaystyle t=1일 때 최솟값 h(1)=4\displaystyle h(1)=4임을 유도

Correction. a=4\displaystyle a=4인 행의 최솟값 h(1)=4\displaystyle h(1)=4는 h(1)=0\displaystyle h(1)=0의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

a=4\displaystyle a=4일 때는 [그림 2]처럼 h(t)\displaystyle h(t)는 t=1\displaystyle t=1일 때 최소이고 h(1)=0\displaystyle h(1)=0.

+7점 · a=8\displaystyle a=8일 때는 h(t)\displaystyle h(t)는 t=1\displaystyle t=1일 때 최솟값 h(1)=4\displaystyle h(1)=4임을 유도

Correction. a=8\displaystyle a=8인 행의 최솟값 h(1)=4\displaystyle h(1)=4는 h(1)=8\displaystyle h(1)=8의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

a=8\displaystyle a=8일 때는 [그림 3]처럼 h(t)\displaystyle h(t)는 t=1\displaystyle t=1일 때 최소이고 h(1)=8\displaystyle h(1)=8.

원문 함수 그래프
+4점 · 확률은 P(Z≤−1.5)+P(Z≥2)=0.09\displaystyle \mathrm{P}(Z\le-1.5)+\mathrm{P}(Z\ge2)=0.09 유도

따라서 확률은 P(Z≤−1.5)+P(Z≥2)=(0.5−0.43)+(0.5−0.48)=0.09\displaystyle \mathrm{P}(Z\le-1.5)+\mathrm{P}(Z\ge2)=(0.5-0.43)+(0.5-0.48)=0.09.

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