약학과 4번

4-11) $\displaystyle \mathrm{P}(|X-m|\le6)=0.96$에 의해$\displaystyle \mathrm{P}\left(\frac{|X-m|}\sigma\le\frac6\sigma\right)=0.96$이고 $\displaystyle \mathrm{P}\left(|Z|\le\frac6\sigma\right)=0.96$이다.$\displaystyle \mathrm{P}\left(0\le Z\le\frac6\sigma\right)=0.48$이고 $\displaystyle \mathrm{P}(0\le Z\le2)=0.48$이므로 $\displaystyle \frac6\sigma=2$이다. $\displaystyle \therefore\sigma=3$2) $\displaystyle \mathrm{P}(X>22)=0.84$에 의해 $\displaystyle \mathrm{P}\left(Z>\frac{22-m}3\right)=0.84$이다.$\displaystyle \mathrm{P}(Z>-1)=0.84$이므로 $\displaystyle \frac{22-m}3=-1$이다. $\displaystyle \therefore m=25$

4-2$\displaystyle m=25$, $\displaystyle \sigma=3$이므로 $\displaystyle X$는 정규분포 $\displaystyle N(25,3^2)$을 따른다. 불량품이 나올 확률을 계산하면$\displaystyle \begin{aligned}\mathrm{P}(X>31)+\mathrm{P}(X<19)&=\mathrm{P}\left(Z>\frac{31-25}3\right)+\mathrm{P}\left(Z<\frac{19-25}3\right)\\&=2\mathrm{P}(Z>2)\\&=2(0.5-0.48)\\&=0.04\quad\text{-----------①}\end{aligned}$이다.하루에 생산된 제품 15000개 중에서 불량품의 개수를 확률변수 $\displaystyle Y$라 하자.①에 의하여 제품 각각의 불량품일 확률이 0.04이므로 $\displaystyle Y$는 이항분포 $\displaystyle B(15000,0.04)$를 따른다. 따라서 $\displaystyle Y$의 평균과 표준편차는$\displaystyle \mathrm{E}(Y)=15000\times0.04=600,\;\sigma(Y)=\sqrt{15000\times0.04\times0.96}=24$이다. 15000은 충분히 큰 수이므로 $\displaystyle Y$는 근사적으로 정규분포 $\displaystyle N(600,24^2)$을 따른다.$\displaystyle \mathrm{P}(Y>n)=0.02$인 $\displaystyle n$을 구하기 위해 $\displaystyle \mathrm{P}(Y>n)=\mathrm{P}\left(Z>\frac{n-600}{24}\right)$를 만족하는 $\displaystyle n$을 찾아야 하고, 표준정규분포표를 이용하면 $\displaystyle \mathrm{P}(Z>2)=0.02$이므로 $\displaystyle \frac{n-600}{24}=2$이다. 따라서 $\displaystyle n=648$이다.

4-31000일의 기간 중 불량품이 $\displaystyle n$개 초과하는 날의 수를 확률변수 $\displaystyle T$라 하자. 문제 [4-2]에 의하여 하루에 발생하는 불량품이 $\displaystyle n$을 초과하는 확률이 0.02이므로 $\displaystyle T$는 이항분포 $\displaystyle \mathrm{B}(1000,0.02)$를 따른다.그러므로 $\displaystyle \mathrm{E}(T)=1000\times0.02=20$이고 $\displaystyle \mathrm{V}(T)=1000\times0.02\times0.98=19.6$이므로 $\displaystyle 4<\sigma(T)<5$이다.1000일 중 불량품이 648개가 초과되는 날의 기댓값은 20일이다.

4-4$\displaystyle f(x)$와 $\displaystyle g(x)$의 역함수를 고려하면 $\displaystyle h(t)$는 $\displaystyle x=t$가 $\displaystyle F(x)=8^x$와 $\displaystyle G(x)=2a^x$가 만나는 점 사이의 거리이다.$\displaystyle a=2$일 때는 [그림 1]처럼 $\displaystyle h(t)$는 $\displaystyle t=1$일 때 최소이고 $\displaystyle h(1)=8-4=4$.$\displaystyle a=4$일 때는 [그림 2]처럼 $\displaystyle h(t)$는 $\displaystyle t=1$일 때 최소이고 $\displaystyle h(1)=0$.$\displaystyle a=8$일 때는 [그림 3]처럼 $\displaystyle h(t)$는 $\displaystyle t=1$일 때 최소이고 $\displaystyle h(1)=8$.