약학과 2번

2-1$\displaystyle f(x)=x^3+ax^2+bx+c$라 할 수 있으므로 $\displaystyle g(x)=(x^3+ax^2+bx+c)e^{-x}$$\displaystyle g^{\prime}(a)-g^{\prime}(-a)=2a(a^2+b-2a)=0$에서 $\displaystyle b=-a^2+2a$이고 $\displaystyle b$를 $\displaystyle g^{\prime}(a)+g^{\prime}(-a)=0$에 대입하면 $\displaystyle c=-a^3+2a^2+2a$가 되어 $\displaystyle g(x)=(x^3+ax^2+(-a^2+2a)x+(-a^3+2a^2+2a))e^{-x}$이고 $\displaystyle g^{\prime}(x)=-(x-a)(x+a)(x+a-3)e^{-x}$이다. 따라서 $\displaystyle x=-a,a,3-a$에서 $\displaystyle g^{\prime}(x)=0$이고 $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle x=3-a$에서 극솟값을 가지므로 $\displaystyle -a<3-a<a$에서 $\displaystyle a>\frac32$.Comment. $\displaystyle g^{\prime}(a)=g^{\prime}(-a)=0$에서 각각 지수인자 $\displaystyle e^{-a},e^a$를 나눈 뒤 두 식을 빼면 $\displaystyle 2a(a^2+b-2a)=0$을 얻는다.$\displaystyle g(a)=(4a^2+2a)e^{-a}$이고 $\displaystyle g(-a)=2ae^a$이므로 $\displaystyle \frac{g(-a)}{g(a)}=\frac{e^{2a}}{2a+1}$. $\displaystyle h(x)=e^{2x}-2x-1$라면 $\displaystyle x\ge\frac12$에서 $\displaystyle h^{\prime}(x)>0$이고 $\displaystyle h\left(\frac12\right)>0$이므로 $\displaystyle a>\frac32$에서 $\displaystyle g(-a)>g(a)$이고 함수 $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle -a$에서 최댓값을 갖는다 (즉 $\displaystyle -\infty<g(x)\le g(-a)$이다)$\displaystyle g^{\prime}(h(g(x)))=0$의 실근의 개수가 3개 이상이라면, $\displaystyle g(x)=-2e^2a$, $\displaystyle g(x)=2e^2a$, $\displaystyle g(x)=2e^2(3-a)$의 서로 다른 실근의 개수의 합이 3 이상이어야 한다.$\displaystyle g(-a)>0$이므로 $\displaystyle x=-a$가 한 근이라면 $\displaystyle g(-a)=2e^2a$ 또는 $\displaystyle g(-a)=2e^2(3-a)$.$\displaystyle g(-a)=2e^2(3-a)$이면 모든 $\displaystyle x$에서 $\displaystyle g(x)\le2e^2(3-a)<2e^2a$이므로 $\displaystyle g(x)=2e^2a$가 실근을 갖지 않고 $\displaystyle g(x)=-2e^2a$는 1개의 실근을 갖기 때문에 $\displaystyle g^{\prime}(h(g(x)))=0$는 2개의 근만 갖는다.따라서 $\displaystyle g(-a)=2e^2a$이고 $\displaystyle 2ae^a=2e^2a$이므로 $\displaystyle a=2$.$\displaystyle g(3-a)=(27-10a)e^{a-3}$이고 $\displaystyle a=2$이므로 $\displaystyle 3-a>0$이고 $\displaystyle g(3-a)>0$$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}g(x)=-\infty$$\displaystyle x\ge-a$에서 $\displaystyle g(x)\ge0$이고 $\displaystyle e^{-x}$로 인해 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}g(x)=0$ (즉 $\displaystyle x$축이 점근선)$\displaystyle x=-\sqrt2$, $\displaystyle x=\sqrt2$, $\displaystyle x=4$일 때 변곡점 발생$\displaystyle g(x)$의 변곡점의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle -\sqrt2$, $\displaystyle \sqrt2$, 4따라서 그래프의 개형은 다음과 같다.

2-2$\displaystyle \int_{-2}^2g(x)\,dx=\int_{-2}^2(x^3+2x^2+4)e^{-x}dx=-62e^{-2}+6e^2$문제 [2-1]에서 $\displaystyle a=2$이므로$\displaystyle (-a,0)$, $\displaystyle (a,0)$, $\displaystyle (a,g(-a))$, $\displaystyle (-a,g(-a))$로 만든 사각형의 넓이는 $\displaystyle 2ag(-a)=16e^2$$\displaystyle x\ge-a$에서 $\displaystyle g(x)\ge0$이므로 넓이$\displaystyle =16e^2-(-62e^{-2}+6e^2)=62e^{-2}+10e^2$.