약학과 1번

+10점 · $\displaystyle f(2)=-e^2$, $\displaystyle f(0)=-3$, $\displaystyle x$절편 : $\displaystyle (3,0)$, $\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=\infty$를 포함하는 다음의 그래프를 그림

1-11) $\displaystyle \lim_{x\to3}f(x)=0$이므로 $\displaystyle b=3$이다.$\displaystyle \lim_{x\to3}\left\{\frac{f(x)-f(3)}{x-3}+\frac{f(x)+3}{x+3}\right\}=f^{\prime}(3)+\frac12$이고$\displaystyle f^{\prime}(x)=ae^{ax}(x-3)+e^{ax}$으로부터 $\displaystyle f^{\prime}(3)=e^{3a}$이므로 즉 $\displaystyle e^{3a}=e^3$을 만족하므로 $\displaystyle a=1$이다.$\displaystyle \therefore f(x)=e^x(x-3)$이고, $\displaystyle f(4)=e^4$이다2) $\displaystyle f^{\prime}(x)=e^x(x-2)$, $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=e^x(x-1)$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(2)=0$이고 $\displaystyle f^{\prime\prime}(1)=0$이고$\displaystyle x\ge2$일 때 $\displaystyle f^{\prime}(x)\ge0$이고 $\displaystyle 0\le x<2$일 때 $\displaystyle f^{\prime}(x)<0$이다.$\displaystyle f(1)=-2e$, $\displaystyle f(2)=-e^2$, $\displaystyle f(0)=-3$, $\displaystyle x$절편 : $\displaystyle (3,0)$, $\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=\infty$을 이용하면

1-2$\displaystyle h(x)=0$인 $\displaystyle x$를 찾으면$\displaystyle h(x)=f\left(\frac{x+3}4\right)=0$을 만족해야하고, $\displaystyle \frac{r+3}4=3$이다.$\displaystyle \therefore r=9$이다.$\displaystyle (9,0)$에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle y=h^{\prime}(9)(x-9)$이고,$\displaystyle h^{\prime}(x)=\frac14f^{\prime}\left(\frac{x+3}4\right)$이므로$\displaystyle h^{\prime}(9)=\frac14f^{\prime}(3)=\frac14e^3$이다.$\displaystyle \therefore$ 접선의 방정식은 $\displaystyle y=\frac14e^3(x-9)$이다.$\displaystyle x\ge9$일 때,$\displaystyle h^{\prime\prime}(x)=\frac1{16}f^{\prime\prime}\left(\frac{x+3}4\right)$이고 $\displaystyle f^{\prime\prime}\left(\frac{x+3}4\right)>0$이므로 $\displaystyle h^{\prime\prime}(x)>0$이고 $\displaystyle y=h(x)$는 접선보다 위에 위치한다. 그러므로, 구하는 영역의 넓이$\displaystyle =\int_9^{13}\left\{h(x)-\frac14e^3(x-9)\right\}dx$이다.$\displaystyle h(x)=f\left(\frac{x+3}4\right)$에서 $\displaystyle \frac{x+3}4=t$로 치환하면,구하는 영역의 넓이 $\displaystyle =\int_3^4 f(t)\cdot4dt-\frac14e^3\int_9^{13}(x-9)dx$$\displaystyle 4\int_3^4(x-3)e^xdx-\frac14e^3\int_9^{13}(x-9)dx$$\displaystyle =\left[\Biggl[xe^x\Biggr]_3^4-\int_3^4e^x-\Biggl[3\cdot e^x\Biggr]_3^4\right]-\frac14e^3\Biggl[\frac{x^2}2-9x\Biggr]_9^{13}$Correction. 부분적분식의 첫 대괄호 앞에 계수 4가, 적분기호 안의 $\displaystyle e^x$ 뒤에 $\displaystyle dx$가 빠져 있다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle =4(4e^4-3e^3-e^4+e^3-3e^4+3e^3)-\frac14e^3\left(\frac{13^2}2-\frac{9^2}2-9(13-9)\right)$$\displaystyle =4e^3-2e^3=2e^3$

1-3$\displaystyle h(x)$의 역함수를 구하기 위해 $\displaystyle y=f\left(\frac{x+3}4\right)$를 $\displaystyle x$에 대해 정리하면$\displaystyle \frac{x+3}4=f^{-1}(y)$이고$\displaystyle x=4f^{-1}(y)-3$이다.$\displaystyle x,y$를 바꾸면 $\displaystyle y=4f^{-1}(x)-3$이므로,$\displaystyle h(x)$의 역함수 $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle g(x)=4f^{-1}(x)-3$이다.그리고 $\displaystyle g^{\prime}(x)=4(f^{-1})^{\prime}(x)$이므로$\displaystyle g^{\prime}(x)=\frac4{f^{\prime}(f^{-1}(x))}$이다.ⅰ) $\displaystyle g(e^4)=4f^{-1}(e^4)-3$이고 $\displaystyle f(4)=e^4$로부터 $\displaystyle f^{-1}(e^4)=4$이므로$\displaystyle g(e^4)=4\cdot4-3=13$이다.ⅱ) $\displaystyle g^{\prime}(e^4)=4\cdot\frac1{f^{\prime}(f^{-1}(e^4))}=4\cdot\frac1{f^{\prime}(4)}$이고 $\displaystyle f(x)=e^x(x-2)$로부터 $\displaystyle f^{\prime}(4)=2e^4$이므로Correction. 이곳의 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle f^{\prime}(x)$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle g^{\prime}(e^4)=4\cdot\frac1{2e^4}=\frac2{e^4}$이다.

1-4$\displaystyle g^{\prime}(x)=4\cdot\frac1{f^{\prime}(f^{-1}(x))}$로부터 $\displaystyle x$대신 $\displaystyle f(x)$를 대입하고 $\displaystyle f^{-1}(f(x))=x$를 이용하면$\displaystyle g^{\prime}(f(x))=4\cdot\frac1{f^{\prime}(x)}$이다.$\displaystyle \therefore\int_4^5\frac8{g^{\prime}(f(x))\{f(x)\}^2}dx=\int_4^5\frac{2f^{\prime}(x)}{\{f(x)\}^2}dx$$\displaystyle f(x)=t$로 놓으면 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{dt}{dx}$이다.$\displaystyle f(5)=2e^5$, $\displaystyle f(4)=e^4$를 대입하면,$\displaystyle \int_4^5\frac{2f^{\prime}(x)}{\{f(x)\}^2}dx=\int_{e^4}^{2e^5}\frac2{t^2}dt=2\Biggl[-\frac1t\Biggr]_{e^4}^{2e^5}=-2\left[\frac1{2e^5}-\frac1{e^4}\right]=\frac2{e^4}-\frac1{e^5}$ 또는 $\displaystyle =\frac1{e^5}(2e-1)$