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약학과 2번

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고려대 세종캠퍼스 2023학년도 수시 약학과 2번 · mathesis.kr/archive/korea-sejong/2023su/yak_2

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2. 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

<가> 좌표공간에서 반지름이 32\displaystyle 3\sqrt2이고 중심이 A인 구 S\displaystyle S와 평면 α\displaystyle \alpha는 점 B에서 서로 접한다.

<나> 평면 α\displaystyle \alpha와 평행하지 않은 평면 β\displaystyle \beta에 대하여, 구 S\displaystyle S와 평면 β\displaystyle \beta가 만나서 생기는 원 C\displaystyle C의 반지름은 4이고 중심은 점 D이다.

<다> 점 A와 점 D를 지나는 직선 m\displaystyle m은 구 S\displaystyle S와 점 H, 점 I에서 만나며, AH‾:DH‾=3:2\displaystyle \overline{\mathrm{AH}}:\overline{\mathrm{DH}}=3:2이다.

<라> 직선 ℓ\displaystyle \ell은 평면 α\displaystyle \alpha와 평면 β\displaystyle \beta의 교선이다. 점 D에서 직선 ℓ\displaystyle \ell에 내린 수선의 발을 점 J라 할 때, 선분 DJ의 길이가 5이고 삼각형 BDJ의 넓이는 52\displaystyle 5\sqrt2이다. (단, ∠BJD≠90∘\displaystyle \angle\mathrm{BJD}\ne90^\circ)

구와 두 평면의 위치 관계

[2-1] 직선 ℓ\displaystyle \ell위의 움직이지 않는 한 점 E와 평면 α\displaystyle \alpha위의 점 F의 거리는 2이고 선분 EF의 중점은 G이다. 삼각형 AFG의 넓이가 최대가 될 때, cos⁡(∠BEF)\displaystyle \cos(\angle\mathrm{BEF})를 구하시오. [40점]

[2-2] 원 C\displaystyle C의 평면 α\displaystyle \alpha로의 정사영을 K1\displaystyle K_1, 도형 K1\displaystyle K_1의 평면 β\displaystyle \beta로의 정사영을 L1\displaystyle L_1이라 하고, 자연수 n\displaystyle n이 2보다 크거나 같을 때 도형 Ln−1\displaystyle L_{n-1}의 평면 α\displaystyle \alpha로의 정사영을 Kn\displaystyle K_n, 도형 Kn\displaystyle K_n의 평면 β\displaystyle \beta로의 정사영을 Ln\displaystyle L_n이라 하자. Kn\displaystyle K_n의 넓이를 an\displaystyle a_n이라 할 때, ∑n=12023an\displaystyle \sum_{n=1}^{2023}a_n의 값을 구하시오. [50점]

해설강의 준비중

고려대 세종캠퍼스 2023학년도 수시 약학과 2번 · mathesis.kr/archive/korea-sejong/2023su/yak_2

+10점 · 점 F와 점 G를 지나는 직선과 선분 AE가 수직임을 확인

2-1삼각형 AFG의 넓이가 최대가 되기 위해서는, 점 F와 점 G를 지나는 직선 p\displaystyle p와 선분 AE가 수직이어야 한다.

+10점 · 평면 α\displaystyle \alpha와 선분 AB는 수직임을 확인

또한 평면 α\displaystyle \alpha와 선분 AB는 수직이므로

+10점 · 삼수선의 정리를 이용하여 점 F와 점 G를 지나는 직선과 선분 BE가 수직임을 확인

삼수선의 정리에 의하여 직선 p\displaystyle p와 선분BE는 수직이다.

+5점 · ∠BEF=90∘\displaystyle \angle\mathrm{BEF}=90^\circ를 구함

따라서 선분 EF는 직선 p\displaystyle p위에 있으므로 ∠BEF=90∘\displaystyle \angle\mathrm{BEF}=90^\circ이고

+5점 · cos⁡(∠BEF)=0\displaystyle \cos(\angle\mathrm{BEF})=0을 구함

cos⁡(∠BEF)=0\displaystyle \cos(\angle\mathrm{BEF})=0이다.

+5점 · AJ‾=33\displaystyle \overline{\mathrm{AJ}}=3\sqrt3을 구함
+5점 · BJ‾=3\displaystyle \overline{\mathrm{BJ}}=3을 구함
+5점 · 두 평면 사이의 이면각의 크기를 θ\displaystyle \theta라고 할 때 sin⁡θ=232\displaystyle \sin\theta=\frac23\sqrt2를 구함
+5점 · cos⁡θ=13\displaystyle \cos\theta=\frac13을 구함

2-2직선 m\displaystyle m과 평면 β\displaystyle \beta는 수직이므로 삼각형 ADJ는 직각삼각형이며, 평면 α\displaystyle \alpha와 선분 AB는 수직이므로 삼각형 ABJ 또한 직각삼각형이다. 피타고라스 정리에 의하여BJ‾ 2=AJ‾ 2−AB‾ 2=(AD‾ 2+DJ‾ 2)−AB‾ 2=(32⋅AH‾−DH‾AH‾)2+DJ‾ 2−AB‾ 2=2+25−18=9\displaystyle \begin{aligned}\overline{\mathrm{BJ}}^{\,2}&=\overline{\mathrm{AJ}}^{\,2}-\overline{\mathrm{AB}}^{\,2}\\&=(\overline{\mathrm{AD}}^{\,2}+\overline{\mathrm{DJ}}^{\,2})-\overline{\mathrm{AB}}^{\,2}=\left(3\sqrt2\cdot\frac{\overline{\mathrm{AH}}-\overline{\mathrm{DH}}}{\overline{\mathrm{AH}}}\right)^2+\overline{\mathrm{DJ}}^{\,2}-\overline{\mathrm{AB}}^{\,2}\\&=2+25-18=9\end{aligned}∴BJ‾=3\displaystyle \therefore\overline{\mathrm{BJ}}=3평면 α\displaystyle \alpha와 평면 β\displaystyle \beta의 이면각 크기를 θ\displaystyle \theta라고 할 때,△BDJ=12BJ‾⋅DJ‾⋅sin⁡θ⇔sin⁡θ=2×523×5=232⇒cos⁡θ=13\displaystyle \triangle\mathrm{BDJ}=\frac12\overline{\mathrm{BJ}}\cdot\overline{\mathrm{DJ}}\cdot\sin\theta\Leftrightarrow\sin\theta=\frac{2\times5\sqrt2}{3\times5}=\frac23\sqrt2\Rightarrow\cos\theta=\frac13

+10점 · C\displaystyle C의 넓이가 16π\displaystyle 16\pi임을 구함

C\displaystyle C의 넓이는 16π\displaystyle 16\pi이다.

+10점 · Kn\displaystyle K_n의 첫째항이 163π\displaystyle \frac{16}3\pi이고 공비가 19\displaystyle \frac19인 등비수열임을 확인

K1=(C의 넓이)×cos⁡θ=16π×13\displaystyle K_1=(C\text{의 넓이})\times\cos\theta=16\pi\times\frac13L1=K1×cos⁡θ=16π×132\displaystyle L_1=K_1\times\cos\theta=16\pi\times\frac1{3^2}K2=L2×cos⁡θ=16π×133\displaystyle K_2=L_2\times\cos\theta=16\pi\times\frac1{3^3}Correction. 이 식의 L2\displaystyle L_2는 L1\displaystyle L_1의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.⋮\displaystyle \vdotsKn=16π×132n−1\displaystyle K_n=16\pi\times\frac1{3^{2n-1}}이므로 Kn\displaystyle K_n의 값은 첫째항이 163π\displaystyle \frac{16}3\pi이고 공비가 19\displaystyle \frac19인 등비수열이 된다.

+10점 · ∑n=12023an=6π(1−192023)\displaystyle \sum_{n=1}^{2023}a_n=6\pi\left(1-\frac1{9^{2023}}\right)을 구함

∴∑n=12023an=163π⋅1−1920231−19=163π⋅98(1−192023)=6π(1−192023)\displaystyle \therefore\sum_{n=1}^{2023}a_n=\frac{16}3\pi\cdot\frac{1-\frac1{9^{2023}}}{1-\frac19}=\frac{16}3\pi\cdot\frac98\left(1-\frac1{9^{2023}}\right)=6\pi\left(1-\frac1{9^{2023}}\right)

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