약학과 2번

2-1삼각형 AFG의 넓이가 최대가 되기 위해서는, 점 F와 점 G를 지나는 직선 $\displaystyle p$와 선분 AE가 수직이어야 한다.또한 평면 $\displaystyle \alpha$와 선분 AB는 수직이므로 삼수선의 정리에 의하여 직선 $\displaystyle p$와 선분BE는 수직이다. 따라서 선분 EF는 직선 $\displaystyle p$위에 있으므로 $\displaystyle \angle\mathrm{BEF}=90^\circ$이고 $\displaystyle \cos(\angle\mathrm{BEF})=0$이다.

2-2직선 $\displaystyle m$과 평면 $\displaystyle \beta$는 수직이므로 삼각형 ADJ는 직각삼각형이며, 평면 $\displaystyle \alpha$와 선분 AB는 수직이므로 삼각형 ABJ 또한 직각삼각형이다. 피타고라스 정리에 의하여$\displaystyle \begin{aligned}\overline{\mathrm{BJ}}^{\,2}&=\overline{\mathrm{AJ}}^{\,2}-\overline{\mathrm{AB}}^{\,2}\\&=(\overline{\mathrm{AD}}^{\,2}+\overline{\mathrm{DJ}}^{\,2})-\overline{\mathrm{AB}}^{\,2}=\left(3\sqrt2\cdot\frac{\overline{\mathrm{AH}}-\overline{\mathrm{DH}}}{\overline{\mathrm{AH}}}\right)^2+\overline{\mathrm{DJ}}^{\,2}-\overline{\mathrm{AB}}^{\,2}\\&=2+25-18=9\end{aligned}$$\displaystyle \therefore\overline{\mathrm{BJ}}=3$평면 $\displaystyle \alpha$와 평면 $\displaystyle \beta$의 이면각 크기를 $\displaystyle \theta$라고 할 때,$\displaystyle \triangle\mathrm{BDJ}=\frac12\overline{\mathrm{BJ}}\cdot\overline{\mathrm{DJ}}\cdot\sin\theta\Leftrightarrow\sin\theta=\frac{2\times5\sqrt2}{3\times5}=\frac23\sqrt2\Rightarrow\cos\theta=\frac13$$\displaystyle C$의 넓이는 $\displaystyle 16\pi$이다.$\displaystyle K_1=(C\text{의 넓이})\times\cos\theta=16\pi\times\frac13$$\displaystyle L_1=K_1\times\cos\theta=16\pi\times\frac1{3^2}$$\displaystyle K_2=L_2\times\cos\theta=16\pi\times\frac1{3^3}$Correction. 이 식의 $\displaystyle L_2$는 $\displaystyle L_1$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \vdots$$\displaystyle K_n=16\pi\times\frac1{3^{2n-1}}$이므로 $\displaystyle K_n$의 값은 첫째항이 $\displaystyle \frac{16}3\pi$이고 공비가 $\displaystyle \frac19$인 등비수열이 된다.$\displaystyle \therefore\sum_{n=1}^{2023}a_n=\frac{16}3\pi\cdot\frac{1-\frac1{9^{2023}}}{1-\frac19}=\frac{16}3\pi\cdot\frac98\left(1-\frac1{9^{2023}}\right)=6\pi\left(1-\frac1{9^{2023}}\right)$