약학과 3번

3-1$\displaystyle f(n)\le7$이므로 $\displaystyle f(4)=1$이다. 그러면 $\displaystyle f(5)=7$이다. 집합 $\displaystyle \{x\mid x\text{는 5이상 9이하 자연수}\}$에서 $\displaystyle \{x\mid x\text{는 1이상 7이하 자연수}\}$로 가는 함수 중 $\displaystyle f(5)=7$이고 $\displaystyle f(x)\ge f(x+1)$을 만족시키는 함수의 개수는$\displaystyle {}_{7}\mathrm{H}_4={}_{10}\mathrm{C}_4=210$

집합 $\displaystyle \{x\mid x\text{는 4이하 자연수}\}$에서 $\displaystyle \{x\mid x\text{는 7이하 자연수}\}$로 가는 함수 중 $\displaystyle f(4)=1$이고 $\displaystyle f(x)\le f(x+1)+1$을 만족시키는 함수는$\displaystyle f(1)=1,\;f(2)=1,\;f(3)=1$$\displaystyle f(1)=1,\;f(2)=1,\;f(3)=2$$\displaystyle f(1)=1,\;f(2)=2,\;f(3)=1$$\displaystyle f(1)=1,\;f(2)=2,\;f(3)=2$$\displaystyle f(1)=1,\;f(2)=3,\;f(3)=2$$\displaystyle f(1)=2,\;f(2)=1,\;f(3)=1$$\displaystyle f(1)=2,\;f(2)=1,\;f(3)=2$$\displaystyle f(1)=2,\;f(2)=2,\;f(3)=1$$\displaystyle f(1)=2,\;f(2)=2,\;f(3)=2$$\displaystyle f(1)=2,\;f(2)=3,\;f(3)=2$$\displaystyle f(1)=3,\;f(2)=2,\;f(3)=1$$\displaystyle f(1)=3,\;f(2)=2,\;f(3)=2$$\displaystyle f(1)=3,\;f(2)=3,\;f(3)=2$$\displaystyle f(1)=4,\;f(2)=3,\;f(3)=2$인 경우로 14개가 있다.

따라서 $\displaystyle f(4)=1$일 때, 조건 (가)와 (나)를 만족시키는 함수의 개수는$\displaystyle 14\times210=2940$

3-2$\displaystyle N$ : 1개의 기계가 1년중 정상가동하지 않는 달의 수Correction. 고장 달의 수를 나타낸 $\displaystyle N$은 $\displaystyle X$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \begin{aligned}\mathrm{P}=(X=x)&=\frac{14}{13}\cdot\frac1{(x+1)(x+2)}\quad(x=0,1,2,\cdots,12)\\&=\frac{14}{13}\cdot\left(\frac1{x+1}-\frac1{x+2}\right)\end{aligned}$

1개의 기계가 2021년말 보험금을 지급 받을 확률은$\displaystyle \mathrm{P}(X\ge4\mid X\le7)$

$\displaystyle \begin{aligned}&=1-\mathrm{P}(X\le3\mid X\le7)\\&=1-\frac{\frac{14}{13}\left(1-\frac12+\frac12-\frac13+\frac13-\frac14+\frac14-\frac15\right)}{\frac{14}{13}\left(1-\frac12+\frac12-\frac13+\cdots+\frac18-\frac19\right)}\\&=1-\frac{\frac45}{\frac89}\\&=1-\frac9{10}=\frac1{10}\end{aligned}$

2021년 말에 100대의 기계 중 보험금을 지급받는 기계의 수를 $\displaystyle Y$라고 하면 $\displaystyle Y$는 $\displaystyle \mathrm{B}\left(100,\frac1{10}\right)$을 따르고

이는 근사적으로 $\displaystyle \mathrm{N}\left(100\cdot\frac1{10},100\cdot\frac1{10}\cdot\frac9{10}\right)=\mathrm{N}(10,3^2)$을 따른다.

그러므로 보험금 총지급액이 보험료 총납입액보다 클 확률은$\displaystyle \begin{aligned}&\mathrm{P}(\text{총 보험금}>\text{총 보험료})\\&=\mathrm{P}(X\cdot1000\text{만}>100\times130\text{만})\\&=\mathrm{P}(X>13)\\&=\mathrm{P}\left(\frac{X-10}3>\frac{13-10}3\right)\\&=\mathrm{P}(Z>1)\\&=0.5-0.341\\&=0.159\end{aligned}$Correction. 마지막 보험금 계산에서 보험금을 받는 기계 수 $\displaystyle X$는 $\displaystyle Y$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.여기에서 $\displaystyle Z$는 $\displaystyle \mathrm{N}(0,1^2)$을 따른다.답 15.9%

3-3ⅰ) 이전 방식으로 포장 (A = 250) 했을 경우한 병 무게의 분포 : $\displaystyle X_i\sim N(250,25^2)$

한 병 평균무게의 분포 : $\displaystyle \overline X=\frac1{16}(X_1+X_2+\cdots+X_{16})\sim N\left(250,\frac1{16}\times25^2\right)$한 상자 무게 : $\displaystyle X=X_1+X_2+\cdots+X_{16}=16\overline X$의 형태로 나타낼 수 있다.한 상자 무게의 분포 : $\displaystyle X=16\overline X\sim N\left(16\times250,16^2\times\frac1{16}\times25^2\right)=N(4000,100^2)$

이전 방식의 한 상자가 판매부적합으로 판정될 확률 $\displaystyle \mathrm{P}(X\le3800)=\mathrm{P}\left(z\le\frac{3800-4000}{100}\right)$$\displaystyle \begin{aligned}&=\mathrm{P}(z\le-2)\\&=0.023\end{aligned}$이전 방식으로 포장했을 때 하루 판매부적합으로 판정되는 상자 수= 하루 생산되는 상자 수 × 0.023$\displaystyle =1000\times0.023=23$상자

ⅱ) 새로운 방식으로 포장 (A = 160) 했을 경우한 병 무게의 분포 : $\displaystyle Y_i\sim N(160,16^2)$

한 병 평균무게의 분포 : $\displaystyle \overline Y=\frac1{25}(Y_1+Y_2+\cdots+Y_{25})\sim N\left(160,\frac1{25}\times16^2\right)$한 상자 무게 : $\displaystyle Y=Y_1+Y_2+\cdots+Y_{25}=25\overline Y$의 형태로 나타낼 수 있다.한 상자 무게의 분포 : $\displaystyle Y=25\overline Y\sim N\left(25\times160,25^2\times\frac1{25}\times16^2\right)=N(4000,80^2)$

새로운 방식의 한 상자가 판매부적합으로 판정될 확률 $\displaystyle \mathrm{P}(Y\le3800)=\mathrm{P}\left(z\le\frac{3800-4000}{80}\right)$$\displaystyle \begin{aligned}&=\mathrm{P}(z\le-2.5)\\&=0.006\end{aligned}$새로운 방식으로 포장했을 때 하루 판매부적합으로 판정될 상자 수= 하루 생산되는 상자 수 × 0.006$\displaystyle =1000\times0.006=6$상자$\displaystyle \therefore$ 새로운 포장법은 이전 포장법에 비해 17상자 적게 판매부적합으로 판정된다.