약학과 4번

4-1$\displaystyle f(t)$는 $\displaystyle 0<t<1$일 때, 일차함수이므로 연속이다. $\displaystyle t>1$일 때, 지수함수이므로 연속이다. 따라서 $\displaystyle t=1$일 때 연속하면 $\displaystyle f(t)$는 연속함수이다. $\displaystyle f(t)$가 $\displaystyle t=1$에서 연속하려면$\displaystyle f(1)=\lim_{t\to1}f(t)$를 만족해야 한다.

제시문 <라>에 의해 $\displaystyle f(1)=\frac{24}{25}(b+k)$이고,Correction. 여기서 제시문 <라>는 <다>의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \lim_{t\to1-}f(t)=\lim_{t\to1-}\left\{\frac{24}{25}(b+k)t+b(1-t)\right\}=\frac{24}{25}(b+k),$

$\displaystyle \lim_{t\to1+}f(t)=\lim_{t\to1+}ce^{-\frac t{24}}=ce^{-\frac1{24}}=0.96c$이다.

따라서$\displaystyle 0.96c=\frac{24}{25}(b+k)$일 때, $\displaystyle t=1$에서 연속이다. 그러므로 $\displaystyle c=b+k$이다.

4-2오전 9시에 알약을 복용하고 경과된 시간 $\displaystyle t$에서의 $\displaystyle A$의 혈중 농도 $\displaystyle f(t)$는$\displaystyle f(t)=\begin{cases}\frac{24}{25}(9+k)t+9(1-t)&0\le t\le1\\(9+k)e^{-\frac t{24}}&1<t\le12\end{cases}$이다. 이때 $\displaystyle 0<t<1$일 때, $\displaystyle k$는 자연수이므로 $\displaystyle f^{\prime}(t)=\frac{24}{25}(9+k)-9=\frac{24k-9}{25}>0$이다.$\displaystyle 1<t<12$일 때, $\displaystyle f^{\prime}(t)=-\frac1{24}(9+k)e^{-\frac t{24}}<0$이므로 $\displaystyle t=1$일 때, 극댓값(최댓값)을 갖는다.

이때, 최댓값 $\displaystyle f(1)=\frac{24}{25}(9+k)$이다.

함수 $\displaystyle f(t)$는 $\displaystyle [0,12]$에서 연속이고, $\displaystyle f(0)=9$,$\displaystyle f(12)=(9+k)e^{-\frac12}=\frac58(9+k)$이다.이때, $\displaystyle \frac58(9+k)-9=\frac58k-\frac{27}8$이므로 $\displaystyle k<5.4$이면 $\displaystyle f(12)=\frac{45}8+\frac{5k}8$가 최솟값이고,

$\displaystyle k>5.4$이면 $\displaystyle f(0)=9$가 최솟값이다.

4-3이 환자가 어제 오전 9시에 알약 $\displaystyle k$개를 먹은 후 경과된 시간 $\displaystyle t$에서 $\displaystyle A$의 혈중 농도 $\displaystyle f(t)$는 다음과 같다.$\displaystyle f(t)=\begin{cases}\frac{24}{25}(9+k)t+9(1-t)&0\le t\le1\\(9+k)e^{-\frac t{24}}&1<t\le12\end{cases}$식약처 권고사항을 만족하게 복용하였기 때문에 $\displaystyle 9\le f(12)\le10$를 만족해야 한다. 따라서$\displaystyle \begin{aligned}9\le(9+k)e^{-\frac12}\le10&\Rightarrow\frac{144}{10}\le9+k\le\frac{160}{10}\\&\Rightarrow5.4\le k\le7\end{aligned}$이므로 6개 또는 7개를 복용했을 것이다. 그리고 $\displaystyle f(t)$는 모든 $\displaystyle t$에 대하여 $\displaystyle 8\le f(t)\le16$도 만족해야 한다.

Case 1 : 6개를 복용할 경우6개를 복용할 경우 오후 9시에 복용하기 직전까지 $\displaystyle A$의 혈중 농도의 최댓값은 $\displaystyle \frac{24}{25}\times15=\frac{72}5\le16$이고, 최솟값은 $\displaystyle 9\ge8$이다. $\displaystyle f(12)=15\times\frac58=\frac{75}8$이고, $\displaystyle 9\le\frac{75}8\le10$이므로 식약처 권고사항을 만족한다. 오후 9시에 알약을 6개 복용한 후 경과된 시간 $\displaystyle t$에서의 $\displaystyle A$의 혈중 농도 $\displaystyle f(t)$는 다음과 같다.$\displaystyle f(t)=\begin{cases}\frac{24}{25}\left(\frac{75}8+6\right)t+\frac{75}8(1-t)&0\le t\le1\\\left(\frac{75}8+k\right)e^{-\frac t{24}}&1<t\le12\end{cases}$이때 $\displaystyle f(t)$의 최댓값은 $\displaystyle \frac{24}{25}\left(\frac{75}8+6\right)=\frac{369}{25}\le16$이고, 최솟값은 $\displaystyle \frac{75}8\ge8$이다.그리고 $\displaystyle f(12)=\frac{123}8\times\frac58=\frac{615}{64}$이므로 $\displaystyle 9\le f(12)\le10$이다.따라서 첫 복용 할 때와 두 번째 복용 때 모두 식약처 권고사항을 만족한다.

Case 2 : 7개를 복용할 경우오후 9시에 알약을 복용하기 직전까지 $\displaystyle A$의 혈중 농도의 최댓값은 $\displaystyle \frac{24}{25}\times16=\frac{384}{25}\le16$이고, 최솟값은 $\displaystyle 9\ge8$이다. 따라서 첫 복용 시에는 식약처 권고사항을 만족한다. 두 번째 복용 시에는$\displaystyle f(12)=16e^{-\frac12}=10$이므로 오후 9시에 알약을 7개 복용한 후 경과된 시간 $\displaystyle t$에서의 $\displaystyle A$의 혈중 농도 $\displaystyle f(t)$는 다음과 같다.$\displaystyle f(t)=\begin{cases}\frac{24}{25}(10+7)t+10(1-t)&0\le t\le1\\(10+k)e^{-\frac t{24}}&1<t\le12\end{cases}$이다. 이때 $\displaystyle f(t)$의 최댓값은 $\displaystyle \frac{24}{25}\times17>16$이므로 식약처의 권고사항을 만족하지 않는다.

$\displaystyle \therefore$ 매 복용시마다 6개를 복용하면 식약처 권고사항을 만족한다.